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¿Cómo se representa una función?

3 de febrero de 2018

Mawency Vergel, Jorge A. Pabón, Sandra Liliana Zafra, Carlos S. Gómez Vergel
Universidad Francisco de Paula Santander, Policía Nacional de Colombia, Universidad de Los Andes, Colombia
IBERCIENCIA Comunidad de educadores para la cultura científica
En el aprendizaje de las matemáticas, el lenguaje tiene un papel muy importante. Con un 95% de confiabilidad es posible afirmar que la adquisición de un concepto depende de la capacidad para reconocer e interpretar una representación del mismo. Por otra parte, detrás de un concepto subyacen distintos objetos; así, dentro del esquema del concepto de función, aparecen términos como variable, dependencia, transformación, sucesión o iso­morfismo.

Es posible abordar la idea de función desde cada uno de estos conceptos, con lo cual se pondrán de relieve distintas características, diferen­tes visiones de lo que se entiende por función. En este sentido, al considerar una función bajo la idea de variabilidad, para el estudiante el papel del dominio se hace poco relevante; implícitamente lo considera ordenado y generalmente conti­nuo, o cuanto menos denso, pone el acento en la forma como cambia la variable dependiente. Por el contrario, bajo la idea de transformación se pone de relieve la relación entre el dominio y la imagen, sin fijarse en cómo se produce el cambio; cualquier ejemplo de transformación se centrará en el estado inicial y el final de la misma.

Estos distintos enfoques, llamados “dominios semánticos” (Janvier 1983, p.24), tienen una gran importancia para el aprendizaje, puesto que el trabajo en cada uno de ellos tiene unas características determinadas y su transferencia a otros dominios es muy difícil de realizar, como se ha puesto de relieve en algunas investigaciones de los últimos años a las que nos referiremos más adelante. Los dos lenguajes de mayor abstracción y por tanto más difíciles de ’interpretar, la gráfica y la fórmula o expresión algebraica, permiten obtener una visión general y completa de la función estudiada, tanto cualitativa como cuantitativa (aunque aproximada en el caso de la gráfica), proporcionando mayor y mejor información que los lenguajes anteriores, al mismo’ tiempo que posibilitan la caracterización de modelos.


Gráfico 1. Modelo de representación de funciones

La diferencia entre ambos lenguajes es evidente: la gráfica permite «ver» las características globales de la función (variaciones y períodos constantes, crecimiento, continuidad,-.concavidad, máximos y mínimos, periodicidad, etc.), también determinables a partir de la ecuación (cuando es posible establecerla a partir de métodos elementales), pero mucho más difíciles .de interpretar, ya que su determinación a través del lenguaje algebraico presupone, por un lado el conocimiento del significado de los símbolos utilizados y por otro la inter­pretación a través de ellos de conceptos abstractos, que a través de la gráfica es posible intuir más fácilmente. Por otro lado, la ecuación permite -determinar valores de ambas variables con precisión, siempre que se coloca el algoritmo de resolución de la ecuación correspondiente, mientras que a través de la gráfica el proceso es mucho más directo aunque nos da, tan sólo, valores aproximados.

El aprendizaje de las funciones pasa, en primer lugar, por un conocimien­to de cada uno de estos lenguajes de representación, es decir, por la adquisi­ción de la capacidad para leer e interpretar cada uno de ellos y posterior­mente para traducir de uno a otro. La caracterización de las actividades de aprendizaje relativas a las funcio­nes a partir de la tabla anterior permite obtener una visión interesante sobre el carácter de las mismas. Si, por ejemplo, analizamos los ejercicios que aparecen en los textos escolares actuales, veremos que, salvo contadas excep­ciones, la mayoría de ellos se reducen a la aplicación de tan sólo dos procedimientos de traducción, seguramente los que admiten un aprendizaje más mecánico y menos interpretativo. En efecto, un ejercicio del tipo: «Cons­truir la gráfica de la función que tiene por ecuación y = 5x - 2» ejemplo típico y muchas veces exclusivo del trabajo sobre gráficas de funciones que aparece en los libros de texto, pretende que los alumnos construyan una tabla de valores a partir de una fórmula dada (cómputo), y a partir de los valore_ de la tabla construyan la gráfica (trazado).

Esta visión tan reducida de los procesos de traducción de un lenguaje a otro, que además parte de la expresión algebraica, sin duda la más difícil de interpretar, lleva a los alum­nos a mecanizar el proceso sin comprenderlo y conduce a una serie de concepciones erróneas sobre el significado de la gráfica, como tendremos ocasión de comentar más adelante. Ciertamente, algunos de los procedimientos que aparecen en la tabla son difícilmente abordables en un nivel introductoria, dado que precisan de un trabajo previo sobre los modelos y un cierto dominio de los mismos, pero otros, como la lectura y construcción de tablas y la lectura e interpretación de gráficas son perfectamente abordable s y permiten una interesante intro­ducción al concepto de función a partir de situaciones reales, externas a las matemáticas, que sirven de soporte concreto para la elaboración del concep­to, como se verá en el siguiente apartado.

A los estudiantes del grupo de investigación se les hace una presentación en la que se les da a conocer los conceptos claves acerca de qué es la modelación y su importancia en la solución de problemas, para ello se trabaja inicialmente sin el uso del software GeoGebra, tan solo se manejan elementos de aula como lápices de colores, regla y hojas de papel milimetrado, se espera que el estudiante ponga en juego los conceptos previos de tabulación y representación de información trabajados en clases anteriores. Posteriormente se presenta al grupo la explicación de las herramientas básicas del programa GeoGebra (Hoja de cálculo e iconos para el trazado de curvas) y se realiza un ejercicio sencillo que le permite el estudiante apropiarse del manejo del recurso tecnológico, para de esta manera promover una verdadera comprensión del contenido.

Finalmente, el estudiante deberá enfrentarse al manejo del software con el propósito de modelar una función e interpretar los resultados de la misma. El mismo proceso se seguirá para la comprensión del tema de funciones, en donde el propósito fundamental es que el estudiante comprenda la importancia de la interpretación y traducción de los resultados. Un ejemplo utilizado fue “Científicos han observado que la cantidad de chirridos por minuto de los grillos de cierta especie, está relacionada con la temperatura ambiente. La siguiente tabla muestra el número de chirridos por minuto para varias temperaturas:

 


Gráfico 2. Definido el diagrama de dispersión adecuado, los estudiantes continúan hasta trazar la gráfica.

 

Los estudiantes a pesar de no manejar el término de regresión con propiedad, inician fase de planteamiento de hipótesis y análisis de aumento de la temperatura teniendo en cuenta número de chirridos por minuto en una proporción aproximadamente igual, concluyen que la gráfica daría como resultado una línea recta y que existió una relación directa proporcional y lineal para el intervalo de temperatura considerado.

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