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VI OMCC


I Olimpíada Centroamericana y del Caribe

San José, Costa Rica, 8 y 9 de julio de 1999


Primer Día

Problema 1.
Se supone que 5 personas conocen, cada una, informaciones parciales diferentes sobre cierto asunto. Cada vez que la persona A telefonea a la persona B, A le da a B toda la información que conoce en ese momento sobre el asunto, mientras que B no le dice a A nada de lo que él sabe.

  • (a) ¿Cuál es el mínimo número de llamadas necesarias para que todos lo sepan todo sobre el asunto?
  • (b) ¿Cuántas llamadas son necesarias si son n personas?


Problema 2.
Encuentra un entero positivo n de 1000 cifras, todas distintas de cero, con la siguiente propiedad: es posible agrupar las cifras de n en 500 parejas de tal manera que si multiplicamos las dos cifras de cada pareja y sumamos los 500 productos obtenemos como resultado un número m que es divisor de n.

Problema 3.
Las cifras de una calculadora (a excepción de 0) están dispuestas en la forma indicada en la figura, donde aparece también de la tecla "+":


Dos jugadores A y B juegan de la manera siguiente: A enciende la calculadora y pulsa una cifra, y a continuación pulsa la tecla "+". Pasa la calculadora a B, que pulsa una cifra en la misma fila o columna que la pulsada por A que no sea la misma que la última pulsada por A; a continuación pulsa + y le devuelve la calculadora a A, que repite la operación y así sucesivamente. Pierde el juego el primer jugador que alcanza o supera la suma 31. ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y cuál es ésta?

Segundo Día

Problema 4.
En el trapecio ABCD de bases AB y CD, sea M el punto medio del lado DA. Si el segmento BC mide a, el segmento MC mide b y el ángulo MCB mide 150°, ¿Cuánto mide el área del trapecio ABCD en función de a y b.

Problema 5.
Sea a un entero positivo impar mayor que 17, tal que 3a - 2 es un cuadrado perfecto. Demuestra que existen enteros positivos distintos b y c tales que a + b, a + c,b + c y a + b + c son cuatro cuadrados perfectos.


Problema 6.
Sea S un subconjunto de {1,2,3,...,1000} con la propiedad de que ninguna suma de dos elementos diferentes en S esté en S. Encuentre el número máximo de elementos de S.

 

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