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Problemas
I Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Paipa y Villa de Leyva, Colombia
9 al 15 de diciembre de 1985


Problema 1

Halle todas las ternas de enteros (a,b,c) tales que:

a + b + c=24
a2 + b2 + c2=210
a.b.c=440

Problema 2

Sea P un punto interior del triángulo equilátero ABC tal que:

PA=5, PB=7, y PC=8

Halle la longitud de un lado del triángulo ABC.

Problema 3

Halle las raíces r1, r2, r3 y r4 de la ecuación:

4x4 - ax3 + bx2 - cx + 5=0.

Sabiendo que son reales, positivos y que:

.

Problema 4

Si: x distinto 1, y distinto 1, x distinto y

y: ecuación

Demuestre que ambas fracciones son iguales a x + y + z.

Problema 5

A cada entero positivo n se asigna un entero no negativo f(n) de tal manera que se satisfagan las siguientes condiciones:

  1. f(rs)=f(r) + f(s)
  2. f(n)=0, siempre que la cifra en las unidades n sea 3.
  3. f(10) es cero.

Halle f(1985).Justifique su respuesta.

Problema 6

Dado un triángulo ABC, se consideran los puntos D, E y F de las rectas BC, AC y AB respectivamente. Si las rectas AD, BE y CF pasan todas por el centro O de la circunferencia al triángulo ABC, cuyo radio es r, demuestre que:

ecuación

 

 

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