Está en: OEI - Programación - Olimpíadas - Olimpíada Matemática de Centroamérica y El Caribe


Principal

Reglamento

Copa El Salvador

Problemas

Medallas

VI OMCC


IV Olimpíada Centroamericana y del Caribe

Mérida, México, 2 y 3 de julio de 2002


Primer Día


Problema 1.
¿Para qué enteros n 3 es posible acomodar, en algún orden, los números 1, 2, ..., n en forma circular de manera que cualquier número divida a la suma de los dos números siguientes en el sentido de las manecillas del reloj?

Problema 2.
Sea ABC un triángulo acutángulo y sean D y E los pies de las alturas desde los vértices A y B, respectivamente. Muestre que si

área(BDE) área(DEA) área(EAB) área(ABD)


entonces el triángulo es isósceles.

Problema 3.
Para cada entero a > 1 se construye una lista infinita de enteros L(a) como sigue:

  • a es el primer número de la lista L(a)
  • Dado un número b en L(a), el siguiente número en la lista es b+c, donde c es el mayor entero que divide a b y es menor que b.

Encuentre todos los enteros a > 1 tales que 2002 está en la lista L(a).

Segundo Día

Problema 4.
Sean ABC un triángulo, D el punto medio de BC, E un punto sobre el segmento AC tal que BE=2AD y F el punto de intersección de AD con BE. Si el ángulo DAC mide 60o, encuentre la medida de los ángulos del triángulo FEA.

Problema 5.
Encuentre un conjunto infinito de enteros positivos S tal que para cada n1 y cualesquiera n elementos distintos x1,x2,...,xn de S, el número x1 + x2 + ... + xn no es un cuadrado perfecto.

Problema 6.
En el plano coordenado se tiene la cuadrícula de n n, con n entero mayor o igual que 2, cuyos vértices son los puntos (x,y), con x y y enteros que cumplen 0xn y 0yn. Considere los caminos que van de (0,0) a (n,n) sobre las líneas de esta cuadrícula y que sólo avanzan hacia la derecha o hacia arriba. Uno de tales caminos se llama equilibrado si la suma de los valores de x de todos los puntos por los que pasa es igual a la suma de todos los valores de y de esos mismos puntos. Muestre que todo camino equilibrado divide al cuadrado de lado n en dos figuras de la misma área.

 

Regresar a Página OCMM <<

Suscripición gratuita a la Revista Digital y a las Novedades


| OIM | OMCCI |
| Programación OEI | Principal OEI |
Contactar