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Problemas
IV Olimpíada Iberoamericana de Matemática

La Habana, Cuba
8 al 16 de abril de 1989


Problema 1

Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones siguiente:

x + y - z =-1
x2 - k2 + z2=1
-x3 + y3 + z3=-1

Problema 2

Sean x, y, z tres números reales tales que 0 x y z (pi/2). Demostrar la desigualdad:

(pi/2) + 2sen(x).cos(y) + 2sen(y).cos(z) sen(2x) + sen(2y) + sen(2z)

Problema 3

Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que:

[(a-b)+(a+b)] + [(b-c)+(b+c)] + [(c-a)+(c+a)] < 1/16

Problema 4

La circunferencia inscrita en el triángulo ABC, es tangente a los lados AB y AC en los puntos M y N, respectivamente. Las bisectrices de A y B intersecan a MN en los puntos P y Q, respectivamente. Sea O el incentro del triángulo ABC.
Probar que:

MP.OA=BC.OQ

Problema 5

Sea la función f definida sobre el conjunto {1; 2; 3; ... }

  1. f(1)=1

  2. f(2n + 1)=f(2n) +1

  3. f(2n)=3f(n)

Determinar el conjunto de valores que toma f.

Problema 6

Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación: 2x2 - 3x=3y2

 

 

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