Número 1-Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Créditos


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.

En todas las soluciones se incluirá nombre y dirección del remitente, así como la institución a la que pertenezca. Las soluciones de los estudiantes serán particularmente apreciadas.


Problema 1

Resolver la ecuación en la incógnita x :

(Absolutorial Aufgabe, Baviera, 1874)


Problema 2

Calcular el límite

(Absolutorial Aufgabe, Baviera 1874)


Problema 3

Por un punto P0 de la curva de ecuación y = x3 + Ax2 + Bx + C, se traza una recta, que es tangente a la curva en otro punto P1.

Por P1 se traza una recta, que es tangente a la recta en un nuevo punto P2, y así sucesiva e indefinidamente.
Demostrar que la sucesión de puntos P0,P1,P2,... tiende hacia el punto de inflexión de la curva.

(Prueba de Bachillerato, Suecia 1964)


Problema 4

En los lados AB y AC del triángulo ABC se consideran puntos variables F y E, respectivamente, tales que

Si M es el punto de intersección de BE y CF, hallar el lugar geométrico del punto M.

(Revista rumana Gazeta Matematica, 1991)


Problema 5

Se considera el triángulo ABC y sea M un punto del segmento BC.
Sean r1, r2, r los inradios de los triángulos AMB, AMC y ABC ;
y sean los radios de los círculos situados en el interior del ángulo A y exinscritos a AMB.AMC y ABC, respectivamente.
Demostrar que se verifican las relaciones siguientes:

(Este resultado puede considerarse clásico)

 

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