Número 14-Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 14


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Problema 66
propuesto por J.L. Díaz Barrero, Barcelona, España:

Si a y b son números positivos tales que a3 + b3 = 2, demostrar que


Problema 67
propuesto por Miguel Amengual Covas, Cala Figuera, Mallorca, España.

Se da en R3 un paraboloide elíptico. Hallar el lugar geométrico de los centros de las esferas que cortan al paraboloide según dos circunferencias.


Problema 68
propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania.

Se considera la función real

Hallar los valores del parámetro n tales que f tiene el mayor número posible de asíntotas, y en tal caso, hallar sus ecuaciones.


Problema 69
propuesto como problema 1 en los exámenes para el acceso al Cuerpo de Profesores de Educación Secundaria en Castilla y León, julio 2004.

Encontrar todos los números naturales x, y, z mayores que cero, tales que

1 + 2x · 3y = z2.


Problema 70
propuesto como problema 4 en los exámenes para el acceso al Cuerpo de Profesores de Educación Secundaria en Castilla y León, julio 2004.

Tres personas, A, B, C lanzan sucesivamente, en ese orden, un dado. La primera persona que saque un 6, gana.
a) ¿Cuáles son sus respectivas probabilidades de ganar?
b) Calcular la probabilidad de que el juego termine en el décimo lanzamiento y de que la persona C saque siempre la suma de lo que acaban de sacar los jugadores A y B en las tiradas inmediatamente anteriores.

 

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