Número 16-Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 16


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Problema 76
(propuesto por J.L. Díaz Barrero, Barcelona, España)

Demostrar que en cualquier triángulo ABC se verifica


Problema 77
(propuesto por Juan Carlos Salazar, Puerto Ordaz, Venezuela)

Sea el cuadrilátero ABCD circunscrito a un círculo (I,r) Los puntos de tangencia de este círculo con los lados AB,BC,CD,DA son W,X,Y,Z, respectivamente. Los círculos exinscritos (I1,r1), (I4,r4) correspondientes a los lados AB y CD, respectivamente, y los círculos inscritos (I2,r2), (I3,r3) en los triángulos WXY y WYZ determinan los triángulos tangenciales externos e internos correspondientes, de áreas S1, S2, S3, S4.
Demostrar que


Problema 78
(propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España)

Resolver en enteros positivos la ecuación

x y + y x = x z + y z .


Problema 79
(propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España)
Probar que si k y n son enteros entonces


Problema 80
(propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España)

Caracterizar el triángulo tal que sus medianas y los inversos de sus alturas correspondientes son proporcionales.

 

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