Número 18 -Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 18


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Problema 86
Propuesto por José Luis Díaz Barrero, Barcelona, España.

Demostrar que

no depende de a y calcularlo.


Problema 87
Propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania. Ligeramente modificado por el editor.

Se considera la sucesión {xn} definida por

i)Probar que

ii) Estudiar la convergencia de {xn} en su caso, hallar el límite.


Problema 88
Propuesto por José Luis Díaz-Barrero, Barcelona, España.

Sea

una función estrictamente positiva y continua. Probar que para cualesquiera , existe un número tal que

Observación : La notación representa la potencia de exponente 2005 del número f(xk).


Problema 89
Propuesto por el editor; es un problema original de Lewis Carroll.

Obtener la conclusión que se deduce de las 10 premisas siguientes:

1)Los únicos animales de esta casa son gatos.
2)Todo animal al que le gusta mirar a la Luna sirve como animal de compañía.
3)Cuando aborrezco a un animal lo hago apartarse de mi camino.
4)Sólo son carnívoros los animales que merodean por la noche.
5)Todos los gatos matan ratones.
6)Los animales de esta casa son los únicos que me pueden aguantar..
7)Los canguros no sirven como animales de compañía.
8)Sólo los carnívoros matan ratones.
9)Aborrezco a los animales que no pueden aguantarme.
10)A los animales que merodean por la noche les gusta mirar a la luna.


Problema 90
Propuesto por el editor.

Por un punto P, interior a un triángulo dado ABC, se trazan paralelas a los tres lados del mismo, formándose así tres paralelogramos y tres triángulos. ¿Para qué punto P es mínima la suma de las áreas de los tres triángulos?

 

 

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