Número 20 - Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 20


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Problema 96 *
(Propuesto por Bruno Salgueiro Fanego, Vivero, Lugo, España)

Defino como pedazo esférico cualquiera de las cuatro figuras resultantes de cortar una esfera por dos planos, uno de los cuales pasa por su centro (plano ecuatorial) y el otro no (plano no ecuatorial). Sea el segmento que la intersección de esos dos planos determina en la esfera. Calcular, en función de la distancia del centro de la esfera a , y de la inclinación del plano no ecuatorial con respecto al ecuatorial, el área y el volumen de un pedazo esférico.

Problema 97.
(Propuesto por José Luis Díaz Barrero, Barcelona, España)
Sean x, y, z tres números complejos no nulos y n un entero. Demostrar que

es un número entero y determinar su valor.

Problema 98.
(Propuesto por José Luis Díaz Barrero, Barcelona, España)

Sean a0, a1, a2 tres números complejos no nulos tales que a0=a1a2.

Sabiendo que los afijos de las tres raíces de la ecuación

z 3 + a2z 2 + a1z + a0=0

forman un triángulo, probar que una de sus medianas pasa por el origen de coordenadas.

Problema 99.
(Propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania)
Estudiar la convergencia de la sucesión , definida por

Problema 100.
(Propuesto por K.R.S.Sastry, Bangalore, India)

Un triángulo se llama heroniano si sus lados y área son enteros. Sea n un número natural dado. Demostrar que para n=1, 2, 3, ... existe al menos un triángulo heroniano que cumple la siguiente condición: dos de sus lados son números naturales consecutivos y su área es igual a n veces el perímetro.

 

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