Número 21 - Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 21


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Problema 101 *
(propuesto por Abderrahim Ouardini, Burdeos, Francia)

Se considera un triángulo ABC cuyos lados están ordenados de la manera siguiente:

Sea I el centro de su círculo inscrito, y T el punto de tangencia del círculo inscrito con el lado AC. El círculo circunscrito al triángulo AIC vuelve a cortar a la recta IT en J.

Demostrar la equivalencia de las dos proposiciones siguientes:

i) La altura desde B (en el triángulo ABC) es igual a TJ.
ii) AB,AC y BC están en progresión aritmética.

Problema 102.
(propuesto por Doru Popescu Anastasiu y Miguel Amengual Covas, Mallorca, España)

Sea ABC un triángulo y D un punto sobre BC.

Probar que la relación

no puede verificarse si AD es altura o bisectriz interior.

Si AD es mediana, probar que existen infinitos triángulos que cumplen (1).
(*) ¿Para qué triángulos ABC y para qué puntos D pertenecientes a BC se verifica (1)?

Problema 103.
(propuesto por José Luis Díaz Barrero, Barcelona, España)

Sean números reales mayores o iguales que 1. Probar que

Problema 104.
(propuesto por José Luis Díaz Barrero, Barcelona, España)

Calcular

Problema 105.
(propuesto por Jesús Álvarez Lobo, Oviedo, España)

Lin y Lan son dos campesinos, hermanos gemelos, que comparten al 50% un prado delimitado por los restos de una antigua construcción de forma circular.

Lin posse una vaca, "Linda", y Lan un burro, "Lanzado". Obviamente, Linda come más que Lanzado, por lo que deciden lo siguiente: primero atará Lan su asno en un punto cualquiera del cercado circular, con una cuerda cuya longitud le permita comer exactamente la mitad de la hierba del prado; luego, Lin podrá dejar a Linda en total libertad dentro del círculo para que se deleite con el pasto restante.

La estrategia para el reparto equitativo del pasto es sencilla, pero...¿qué longitud debe tener la cuerda que ate a Lanzado a la circunferencia?

 

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