Número 22 - Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 22


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Problema 106 *
(propuesto por José Luis Díaz-Barrero, Barcelona, España)

Sean a; b; c tres números positivos. Probar que

Problema 107.
(propuesto por Jorge Enrique Espinoza Guevara, Lima, Perú, y corregido el enunciado ligeramente por el editor)

Desde un punto exterior P a una elipse se trazan dos secantes, PAB y PCD (A,B,C y D son los puntos de intersección de las secantes con la elipse. Las rectas CA y DB se cortan en Q; desde Q se trazan las tangentes a la elipse QE y QF (E,F puntos de tangencia).

Demostrar que P, E y F están alineados.

Problema 108.
(propuesto por Marcos Martinelli, Brasil)

Sean A, B y C matrices reales conmutativas de orden 2. Demostrar que se verifica la desigualdad

Problema 109.
(propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España)

Con las notaciones habituales para el triángulo (r; inradio;R circunradio; p semiperímetro), demostrar que

Problema 110.
(propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España)

Con las notaciones habituales para el triángulo (r; inradio;R circunradio; p semiperímetro), demostrar que

¿Cuándo se verifica la igualdad?

 

 

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