Número 25 - Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 25


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Problema 121.
(propuesto por José Luis Díaz-Barrero, Barcelona, España)

Calcular la suma

siendo Fn el n-ésimo número de Fibonacci, definido por F0 = 0; F1 = 1y para todo n 2; Fn = Fn-1+ Fn-2

Problema 122.
(propuesto por José Luis Díaz-Barrero, Barcelona, España)

Sean a; b; c los lados de un triángulo acutángulo ABC con semiperímetro s:

Demostrar que

Problema 123.
(propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania)

i) Hallar el cardinal E (n) ; n N*, del conjunto de los números de n cifras, que se escriben solamente con cifras pares.
ii) Hallar el cardinal O (n), n N*, de los números de n cifras, que se escriben solamente con cifras impares.
iii) Hallar n N* de tal manera que E(n) + O(n) sea cuadrado perfecto.
iv) Sea H (n) ;n N* el cardinal del conjunto de los números de n cifras que se pueden formar con los diez dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Calcular el máximo común divisor de H(n) y E(n) + O(n):

Problema 124.
(propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania)

Dos personas se mueven aleatoriamente sobre una superficie, sin situarse en direcciones paralelas. En la superficie hay un obstáculo, que, a veces, no permite que las personas se vean. ¿Con qué probabilidad las dos personas no se verán?

Problema 125.
(propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España

Si a; b; c son estrictamente positivos, demostrar que

 

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