Número 26 - Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 26


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Problema 116 bis (corrección).
Propuesto por Doru Popescu Anastasiu (Slatina, Rumania) y Miguel Amengual Covas (Cala Figuera, España)
Sean x e y números reales tales que

Demostrar que

Problema 126.
(propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania)

Sea (xn) la sucesión definida por

Calcular el límite

Problema 127.
(propuesto por Cristóbal Sánchez Rubio, Benicasim, España)

En un triángulo de lados a; b; c y área S; llamamos n-ágono medio, Qn, a la media aritmética de las áreas de los 3 n - ágonos regulares construidos sobre cada lado.

Demostrar que

con igualdad si y sólo si el tríangulo es equilátero.

Problema 128.
(propuesto por Luis Gómez Sánchez Alfaro, El Callao, Perú)

Se considera un ángulo agudo dividido en n partes iguales y se toma en el lado del ángulo un punto P0 cuya distancia al vértice O de sea igual a 1. A partir del punto P0 se determinan puntos P1; P2; P3; : : : ; Pn en los lados sucesivos de los n ángulos formados, tales que todos los segmentos Pi-1 Pi i = 1, 2, 3, ..., n formen un ángulo agudo con la recta OPi-1 y los segmentosOPi sean sucesivamente crecientes.

Calcular el límite de la longitud del segmento final OPn, cuando n tiende a infinito.

Problema 129.
(propuesto por Alex Sierra Cárdenas, Medellín, Colombia)

Calcular

Problema 130.
Determinar una función holomorfa que verifica las siguientes condiciones:

1) está definida y es holomorfa en el primer cuadrante compacto, salvo en el punto 1 + i; donde tiene un polo de primer orden con residuo 1.
2)sobre el eje real toma valores reales, y sobre el imaginario, imaginarios puros.
3) es regular en el punto del infinito, y
(propuesto en la Cátedra de Análisis matemático IV, Facultad de Ciencias de Madrid, junio de 1965)

 

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