Número 4-Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 4


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Problema 16 (propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania)

i) Describir por extensión (es decir, enumerando todos sus elementos) el conjunto

ii) ¿Cuántas funciones hay, siendo B el conjunto



Problema 17 (propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania)

Sean (xn ) e (yn ) las sucesiones definidas recurrentemente por

i) Calcular

ii) Probar que hay terminos de las dos sucesiones que son divisibles por tres numeros primos
consecutivos.

iii) Si p1, p2, ..., pk son numeros primos, demostrar que hay un numero infinito de terminos en (xn ) o en (yn ) que son divisibles por el producto p1 . p2 ... pk.


Problema 18 (original de V. V. Kisil, publicado en la revista rusa Kvant)

Probar que, para cualquier entero positivo n,


Problema 19 (presentado por Fernanda Cannon en la IV Conferencia de la World Federation of National Mathematics Competitions, Melbourne, Agosto 2002)

Hallar el mínimo valor de la expresión

donde x, y, z son números reales arbitrarios.


Problema 20 (presentado por John Conway en la IV Conferencia de la World Federation of National Mathematics Competitions, Melbourne, Agosto 2002)

La otra noche me senté en el autobús detrás de dos magos. Esta fué su conversación :
A : Tengo un número entero de hijos, cuyas edades son enteras, su producto es mi edad, y su
suma, el número del autobús.
B : Quizá si me dijeras tu edad y el número de hijos yo podría averiguar las edades de tus
hijos.
A :No.
B : ¡AH! ¡Entonces ya sé tu edad!
¿Cuál es el número del autobús?

 

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