Número 5-Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 5


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Los cinco problemas de este número fueron propuestos en el examen práctico del Concurso-Oposición al Cuerpo de Profesores de Educación Secundaria en Baleares, en el año 2002. Agradecemos al Prof. Miguel Amengual su amabilidad al proporcionárnoslos.

Problema 21

Encontrar las soluciones del sistema de ecuaciones



Problema 22

La bisectriz interior del ángulo A de un triángulo dado ABC corta a BC en el punto D. Sea G la
circunferencia que pasa por A y es tangente a BCen el punto D. Si M es el otro punto de
intersección de G con AC, y BM corta a G en el punto P, demostrar que AP es una mediana del
triángulo ABC.


Problema 23

Se considera la ecuación
x2 + (a + b + c)x + m(ab + bc + ca) = 0,
en la que a, b, c son números reales estrictamente positivos y m es un parámetro real. Demostrar
que
a) si m 3/4 , entonces las raíces de la ecuación son reales.
b) si a, b, c son las longitudes de los lados de un triángulo, y m1, entonces la ecuación no
tiene raíces reales.


Problema 24

Hallar el lugar geométrico de los vértices de los conos circunscritos a una esfera dada en R3, tales que su traza sobre un plano ecuatorial dado de la esfera es una parábola.


Problema 25

Un avión de la compañía Air Disaster debe realizar un viaje entre dos ciudades con un total de m + n escalas. En cada escala, el avión ha de cargar o descargar una tonelada de una cierta mercancía ; realiza cargas en m de las escalas y descargas en las n restantes.
En la compañía, nadie ha reparado en que el avión no soporta una carga mayor que k toneladas (n<k<m+n) y las escalas de carga y descarga están distribuídas al azar.
Si el avión sale con n toneladas de la mercancía, calcular la probabilidad de que llegue a su destino.

 

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