Número 8-Problemas

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OEI - Programación - Olimpíada de Matemática - Revista Escolar de la OIM - Número 8


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Problemas propuestos

Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.


Problema 36
(Propuesto por el Prof. José Luis Díaz Barrero, Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona, España).

Sea la sucesión de Fibonacci definida por F0 = 0, F1 = 1 y para n mayor o igual que 2 . Probar que el número

es entero y expresarlo como una suma de dos cuadrados.


Problema 37
(Propuesto por el Prof. Laurentiu Modan, Universidad de Bucarest, Rumania)

Sea f(x) un polinomio con coeficientes enteros, de grado 7 y coeficiente principal 1, que verifica las dos propiedades siguientes:
i) Existe un entero a que es una raíz cuádruple de f(x) = 4.
ii)Existen tres enteros consecutivos, distintos de a, que son raíces de f.(x) - 4.

Estudiar si
a) existe el entero k tal que f(k)=9.
b) existen enteros k tales que


Problema 38
(Propuesto por el Prof. Laurentiu Modan, Universidad de Bucarest, Rumania)

Una baraja contiene 53 cartas, de las que 13 son comodines. Seis jugadores toman parte en un juego, en el que hay un comodín descubierto, sobre la mesa. Cada jugador recibe una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un jugador reciba un comodín?


Problema 39
(Propuesto por el Editor. Se darán referencias del origen del problema cuando se publique la solución)

Una circunferencia concéntrica con la circunscrita al triángulo ABC corta a AC en E y E’; a AB en F y F’. Las rectas EF y E’F’ cortan a BC en D y D’. Demostrar que D y D’ equidistan del centro de la circunferencia.

 


Problema 40
(Propuesto por el Editor. Se darán referencias del origen del problema cuando se publique la solución)

Una circunferencia de radio es tangente a los lados AB y AC del triángulo ABC, y su centro está a una distancia p del lado BC.
Probar que

donde r es el radio de la circunferencia inscrita y 2s es el perímetro del triángulo.

Demostrar también que si la circunferencia de radio corta a BC en los puntos D y E, entonces

donde ra es el radio de la circunferencia exinscrita correspondiente a A.

 

 

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