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Problemas
VIII Olimpíada Iberoamericana de Matemática

México DF, México
11 a 19 de septiembre de 1993


Problema 1

Un número natural es capicúa si al escribirlo en notación decimal, se puede leer de igual forma tanto de izquierda a dercha como de derecha a izquierda, por ejemplo: 8, 23432, 6446.

Sean x1ax2 ... xiaxi+1... todos los número capicúas. Para cada i sea yi+1=xi+1-xi.

¿Cuántos números primos distintos tiene el conjunto {y1,y2,y3,... }?

Problema 2

Demuestre que para cualquier polígono convexo de área 1 existe un paraleogramo de área 2 que lo contiene.

Problema 3

Sea N*={1,2,3,... }. Halle todas las funciones f: N* --a N* tales que:

  1. Si x y entonces f(x) a f(y)
  2. f(y(f(x))= x2.f(xy), para todos x, y en N*.

Problema 4

Sea ABC un triángulo equilatero y Q su circunferencia inscrita. Si D y E son puntos de los lados AB y AC, respectivamente, tales que DE es tangente a Q, demuestre que (AD)/(DB)+(AE)/(EC)=1

Problema 5

Sean P y Q dos puntos distintos del plano. Denotemos por m(PQ) a la mediatriz del segmento PQ. Sea S un subconjunto finito del plano, con más de un elemento que satisface las siguientes propiedades:

  1. Si P y Q son puntos distintos de S, entonces m(PQ) interseca a S.
  2. Si P1Q1, P2Q2 y P3Q3 son tres segmentos diferentes cuyos extremos son puntos de S, entonces ningún punto de S pertenece simultáneamente a las tres rectas m(P1Q1), m(P2Q2) y m(P3Q3).

Determine el número de puntos que puede tener S.

Problema 6

Dos números enteros no negativos a y b son "cuates" si la expresión decimal a+b consta solamente de ceros y unos. Sean A y B dos conjuntos infinitos de enteros no negativos, tales que B es el conjunto de todos los números que son "cuates" de todos los elementos de B.

Pruebe que en uno de los conjuntos A o B hay infinitos pares de números x, y tales que x-y =1.

 

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