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Problemas
VII Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Caracas, Venezuela
19 al 27 de septiembre de 1992


Problema 1

Para cada entero positivo n, sea an el último dígito del número. 1+2+3+...+n Calcular a1 + a2 + a3 + ... + a1992.

Problema 2

Dadas la colección de n números reales positivos a1 a2 a3 ... an y la función

f(x)=[a_1 / (x+a_1)] + [a_2 / (x+a_2)] + ... + [a_n / (x+a_n)]

Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los x=1.

Problema 3

En un triángulo equilátero ABC cuyo lado tiene longitud 2 se inscribe la circunferencia G.

  1. Demostrar que para todo punto P de G, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices A, B y C es 5.
  2. Demostrar que para todo punto P de G es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos AP, BP y CP, y que su área es:

raiz de 3/4

Problema 4

Sean (an) y (bn) dos sucesiones de números enteros que verifican las las siguientes condiciones:

  1. a0=0, b0=8
  2. a1=2
  3. an es un cuadrado perfecto para todo n. Encontrar un número N de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con cinco cifras de N.

Problema 5

Se da la circunferencia C y los números positivos h y m de modo que existe un trapecio ABCD inscrito en C, de altura h y en el que la suma de las bases AB y CD es m. Construir el trapecio ABCD.

Problema 6

figuraA partir del triángulo T de vértices A, B y C se construye el hexágono H de vértices A1, A2, B1, B2, C1, C2 como se muestra en la figura. Demostrar que:

área(H) >= 13.área(T)

 

 

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