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Problemas
XIII Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Puerto Plata, República Dominicana
19 al 27 de septiembre de 1998


Problema 1

Se dan 98 puntos sobre una circunferencia. María y José juegan alternadamente de la siguiente manera: cada uno de ellos traza un segmento uniendo dos de los puntos dados que no hayan sido unidos entre si anteriormente. El juego termina cuando los 98 puntos han sido usados como extremos de un segmento al menos una vez. El vencedor es la persona que realiza el último trazo.
Si José inicia el juego, ¿quién puede asegurarse la victoria?

Problema 2

La circunferencia inscrita en el triángulo ABC es tangente a los lados BC, CA y AB en los puntos D, E y F, respectivamente. AD corta la circunferencia en un segundo punto Q. Demostrar que la recta EQ pasa por el punto medio de AF si, y solamente si, AC=BC.

Problema 3

Hallar el mínimo número natural n con la siguiente propiedad: entre cualesquiera n números distintos, pertenecientes al conjunto {1, 2, ..., 999} se puede elegir cuatro números diferentes a, b, c, d, tales que a + 2b + 3c =d.

Problema 4

Alrededor de una mesa redonda están sentados representantes de n países (n>=2), de modo que satisfacen la siguiente condición: si dos personas son del mismo país, entonces sus respectivos vecinos de la derecha no pueden ser de un mismo país. Determinar, para cada n, el número máximo de personas que puede haber alrededor de la mesa.

Problema 5

Hallar el máximo valor posible de n para que existan puntos distintos P1, P2 , P3 , ... , Pn en el plano y números reales r1, r2, ..., rn de modo que la distancia entre cualquiera de dos puntos diferentes Pi y Pj sea ri + rj.

Problema 6

Sea lambda la raíz positiva de la ecuación t2 - 1998t - 1=0. Se define la sucesión x0, x1, x2, ... , xn, ... por:

{ x_0=1 // x_(n+1)=[lambda x_n], para n=0, 1, 2, ...

Hallar el residuo (resto) de la división de x1998 por 1998.
Nota: Los corchetes indican parte entera, o sea, [x] es el único entero k tal que k=< x =<k+1.

 

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