Está en: OEI - Programación - Olimpíada de Matemática -


XIX OIM
Olimpíadas
Revista Escolar de la OIM
Reglamentos
Publicaciones
Problemas
Enlaces
Sala de lectura
Suscipción gratuita
Contactar

Problemas
XII Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Guadalajara, Jalisco, México
14 al 21 de septiembre de 1997


Problema 1

Sea r ³ 1 un número real que cumple la siguiente propiedad:

Para cada pareja de números enteros positvos m y n, con n múltiplo de m se tiene que [nr] es múltiplo de [mr].

Probar que r es un número entero.
Nota: Si x es un número real, denotamos por [x] el mayor entero menor o igual que x.

Problema 2

Con el centro en el incentro I de un triángulo ABC se traza una circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres lados del triángulo: al segmento BC en D y P (siendo D el más cercano a B); al segemtno CA en E y Q (siendo E el más cercano a C), y al segmento AB en F y R (siendo F el más cercano a A).
Sea S el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero EQFR. Sea T el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero FRDP. Sea U el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero DPEQ.
Demostrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos FRT, DPU y EQS tienen un único punto común.

Problema 3

Sean n £ 2 un número entero y Dn el conjunto de puntos (x, y) del plano cuyas coordenadas son números enteros con

-n £ x £ n   y   -n £ y £ n.

  1. Se dispone de 3 colores; cada uno de los puntos de Dn se colorea con uno de ellos. Demostrar que sin importar cómo se haya hecho esta coloración, siempre hay dos puntos de Dn del mismo color tales que la recta que los contiene no pasa por ningún otro punto de Dn.
  2. Encontrar una forma de colorear los puntos de Dn utilizando 4 colores de manera que si una recta contiene exactamente dos puntos de Dn, entonces esos dos puntos tienen colores distintos.

Problema 4

Sea n un entero positivo. Consideremos la suma x1y1 + x2y2 + ... + xnyn, donde los valores que pueden tomar las variables x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn son únicamente 0 y 1. Sea I(n) el número de 2n-adas (x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn) para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea P(n) el número de 2n-adas (x1, x2, ..., xn, y1, y2, ..., yn) para las cuales la suma toma valor par. Probar que

(P(n) / I(n))=((2^n) + 1)/((2^n) - 1)

Problema 5

En un triángulo acutángulo ABC sean AE y BF dos alturas, y sea H el ortocentro. La recta simétrica de AE respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en A y la recta simétrica de BF respecto de la bisectriz (interior) del ángulo en B se intersecan en un punto O. Las rectas AE y AO cortan por segunda vez a la circunferencia circunscipta al triángulo ABC en los puntos M y N, respectivamente.
Sean: P, la intersección de BC con HN; R, la intersección de BC con OM; y S la intersección de HR con OP.
Demostrar que AHSO es un paralelogramo.

Problema 6

Sea P={P1, P2, ..., P1997} un conjunto de 1997 puntos en el interior de un círculo de radio 1, siendo P1 el centro del círculo. Para cada k=1, ..., 1997 sea xk la distancia de Pk al punto de P más próximo a Pk y distinto de Pk. Demostrar que

(x_1)^2 + (x_2)^2 + ... + (x_1997)^2 <=9

 

Suscripición gratuita a la Revista Digital y a las Novedades

 

| Principal Olimpiada |

Programación OEI | Principal OEI | Contactar

Prinicipal Olimpíada OEI