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Problemas
XIV Olimpíada Iberoamericana de Matemática

La Habana, Cuba
11 al 19 de septiembre de 1999


Problema 1

Halle todos los enteros positivos que son menores que 1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.

Problema 2

Dadas dos circunferencias M y N, decimos que M biseca a N si la cuerda común es un diámetro de N.

Considere dos circunferencias fijas C1 y C2 no concéntricas.

a) Pruebe que existen infinitas circunferencias B tales que B biseca a C1 y B biseca a C2.

b) Determine el lugar geométrico de los centros de las circunferencias B.

Problema 3

Sean n puntos distintos, P1, P2, ..., Pn , sobre una recta del plano (n a 2). Se consideran las circunferencias de diámetro PiPj (1 a i j a n) y coloreamos cada circunferencia con uno de k colores dados. Llamamos (n, k)-nube a esta configuración.

Para cada entero positivo k, determine todos los n para los cuales se verifica que toda (n, k)-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.

Nota (*): Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.

Problema 4

Sea B un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto {1, 3, 7, 9}. Demuestre que 8 tiene un factor primo mayor o igual que 11.

Problema 5

Un triángulo acutángulo ABC está inscrito en una circunferencia de centro O.

Las alturas del triángulo son AD, BE y CF. La recta EF corta a la circunferencia en P y Q.

a) Pruebe que OA es perpendicular a PQ.

b) Si M es el punto medio de BC, pruebe que AP2=2 . AD . OM

Problema 6

Sean A y B puntos del plano y C un punto de la mediatriz de AB. Se construye una sucesión C1, C2, ... , Cn, ... de la siguiente manera:

C1 =C y para n a 1, si Cn no pertenece al segmento AB, Cn+1 es el circuncentro del triángulo ABCn.

Determine todos los puntos C tales que la sucesión C1, C2, ..., Cn, ...está definida para todo n y es periódica a partir de un cierto punto.

Nota (*): Una sucesión C1, C2, ..., Cn, ... es periódica a partir de un cierto punto si existen enteros positivos k y p tales que Cn+p=Cn para todo n a k.

 

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