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Problemas
X Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Región V, Chile
23 al 30 de septiembre de 1995


Problema 1

Determine los posibles valores de las sumas de los dígitos de todos los cuadrados perfectos.

Problema 2

Sea n un número entero mayor que 1. Determine los números reales

X1, X2, ... ,Xn >= 1,  y  Xn+1 0

que verifican las dos condiciones siguientes:

  1. X11/2 + X23/2 + ... + Xnn+1/2 =n.Xn+11/2
  2. (X1 + X2 + ... + Xn)/n=Xn+1

Problema 3

Sean r y s dos rectas ortogonales y que no están en el mismo plano.
Sea AB su perpendicular común, donde Apertenecer y Bperteneces (*).
Se considera la esfera de diámetro AB. Los puntos M de la recta r, y N de la recta s, son variables, con la condición de que MN sea tangente a la esfera en un punto T.

Determine el lugar geométrico de T.

Nota (*): el plano que contiene a B y r es perpendicular a s.

Problema 4

En un tablero de m x n casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila ( - ), la columna ( | ) y la diagonal ( \ ) a la que pertenece (*). Determine el menor número de fichas deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero.

Nota (*): observe que la ficha no "domina" la diagonal (/).

Problema 5

La circunferencia inscrita en el triángulo ABC es tangente a BC, CA y AB en D, E y F respectivamente.
Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a AD en su punto medio X, es decir, AX=XD.
Las rectas XB y XC cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en Y y en Z, respectivamente.

Demuestre que EY=FZ.

Problema 6

Una función f:N -- N es circular si para cada p en N existe n en N con n<= p tal que

f n(p)=f( f( ... n veces ... f(p)))=p

La función f tiene grado de repulsión k, 0 a ka1, si para cada p en N, f i (p)distintop para i=1, 2, ... , [k.p] (*).

Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular.

Nota (*): [x] indica el mayor entero menor o igual que x.

 

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