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Problemas
XVII Olimpíada Iberoamericana de Matemática

San Salvador, El Salvador
28 de septiembre al 6 de octubre de 2002


Problema 1

Los números enteros del 1 al 2002, ambos inclusive, se escriben en una pizarra en orden creciente 1, 2, . . . , 2001, 2002. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma 3k + 1.
En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma

3k +1.

Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?

Problema 2

Dado cualquier conjunto de 9 puntos en el plano de los cuales no hay tres colineales, demuestre que para cada punto P del conjunto, el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y a P en su interior, es par.

Problema 3

Un punto P es interior al triángulo equilátero ABC y cumple que APC = 120º.
Sean M la intersección de CP con AB y N la intersección de AP con BC. Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo MBN al variar P.

Problema 4

En un triángulo escaleno ABC se traza la bisectriz interior BD, con D sobre AC.
Sean E y F, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde A y C hacia la recta BD, y sea M el punto sobre el lado BC tal que DM es perpendicular a BC. Demuestre que EMD = DMF.

Problema 5

La sucesión de números reales a1, a2, . . . se define como:

para cada entero n > 1.
Demuestre que existe un entero k, 1 < k < 2002, tal que ak < 0.

Problema 6

Un policía intenta capturar a un ladrón en un tablero de 2001 × 2001. Ellos juegan alternadamente. Cada jugador, en su turno, debe moverse una casilla en uno de los tres siguientes sentidos:

(abajo); (derecha); (diagonal superior izquierda).

Si el policía se encuentra en la casilla de la esquina inferior derecha, puede usar su jugada para pasar directamente a la casilla de la esquina superior izquierda (el ladrón no puede hacer esta jugada). Inicialmente el policía está en la casilla central y el ladrón está en la casilla vecina diagonal superior derecha al policía. El policía comienza el juego. Demuestre que:

(a) El ladrón consigue moverse por lo menos 10000 veces sin ser capturado.
(b) El policía posee una estrategia para capturar al ladrón.

Nota: El policía captura al ladrón cuando entra en la casilla en la que está el ladrón. Si el ladrón entra en la casilla del policía, no se produce captura.

 

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