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Vicario García, Vicente - Las demostraciones alternativas como recurso científico y didáctico. El caso de la infinitud de los números primos.


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Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de Matemática.
Número 33
En este artículo pretendemos poner de relieve la importancia de
las componentes científica y didáctica asociadas a las demostraciones
alternativas de una misma proposición matemática. La pluralidad
demostrativa nos permite interpretar las funciones de la demostración
y enriquecer la comprensión de un determinado objeto matemático.
Es esta gama de posibilidades y relaciones demostrativas la que nos ayuda a
alcanzar la óptima comprensión significativa asociada a la demostración
matemática y establecer conexiones, a veces inesperadas.

Introducción

Una manera de hacer más significativa la comprensión asociada
al contenido de la demostración de una proposición matemática
es abordar ésta desde diferentes vertientes. Desde el punto de vista
científico, las demostraciones alternativas de una misma proposición
brindan espléndidas garantías de poder interconectar y explorar
un determinado objeto matemático a través de diversas ramas de
la matemática, quizás remotas, para poder así llegar a
un alto nivel de comprensión de la proposición demostrada y de
todo su entorno asociado. Creemos que es muy conveniente poder utilizar, siempre
que sea posible, distintas técnicas para demostrar una misma proposición,
ya que nos permite intuir, clarificar, verificar y proporcionar, en muchos casos,
pautas explicativas. Además, las diferentes demostraciones suelen aportar
matices nuevos que pueden ser interesantes y que nos dan idea de qué
camino escoger más acorde a la potencia demostrativa o explicativa que
pretendemos en un determinado contexto.

Otra razón esencial para el estudio y análisis de las demostraciones
alternativas es su aplicación en el campo de la didáctica de la
matemática, y más concretamente, en el aula. Parece razonable
pensar que si disponemos de algunas demostraciones alternativas de una proposición,
podemos emplear éstas según los fines que se deseen y dependiendo
del nivel del auditorio al que se destinan. Podemos también etiquetar
y analizar cada demostración según el marco de las funciones más
relevantes que muestre, como verificación, sistematización, y
explicación, además de otras.† Cada nueva demostración
debe hacernos reflexionar fundamentalmente sobre su alcance junto con el grado
de interconexión y simplicidad que exhibe respecto de otras demostraciones.‡

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31 de diciembre de 2008

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