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Seminario de Historia de la Ciencia y de la Tecnica de Aragon
Facultad de Ciencias

Mariano Hormigón

Paradigmas y Matematicas: Un Modelo Teorico para la Investigacion en Historia de las Matematicas

Cuadernos de Historia de la Ciencia 8
Universidad de Zaragoza, 1995
Zaragoza, 1995


Author Mailing Adress
Facultad de Ciencias (Matemáticas)
Ciudad Universitaria
50009 Zaragoza (Spain)

© Mariano Hormigón
Depósito Legal: 3248/95
ISBN: 84-89584-03-6
Portada: José Luis Cano

Edita: Seminario de Historia de la Ciencia y de la Técnica de Aragón - Facultad de Ciencias (Matemáticas) - Ciudad Universitaria - 50009 Zaragoza (Spain)

Imprime: FotoKopias s.l. - Corona de Aragón, 22-24 - 50009 Zaragoza (Spain)

Este trabajo ha sido parcialmente financiado con cargo al proyecto de la CICYT PB94-0559

Dedico este trabajo, que resume un pedazo de mi historia personal, a los siguientes profesores, algunos, por desgracia, ya fallecidos: José Antonio García-Junceda (+), Antonio Ferraz, José Luis Rubio de Francia (+), Carlos París, Eulalia Vintró y Ubaldo Martínez. También a Rafael Rodríguez Vidal (+), Marifí Yzuel, Salvador Miracle, Joaquín Sánchez Guillén y a los restantes 32 compañeros de la Junta de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza que el 17 de marzo de 1981 me brindaron su apoyo generoso.

También a Jesús Alcázar (+), Mar Quemada (+)

y a los PNN de la Universidad de Zaragoza del período

1980-1982, por lo mismo acrecentado y además por haberme permitido conocer el sabor dulce de la solidaridad.

Por último, a los alumnos de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza del curso 1980-81, que fueron a la huelga para luchar por el derecho a la libertad de abrir las ventanas del saber hacia todos los horizontes.

 

 

Indice

Agradecimientos

Presentación

Paradigmas y Matemáticas: Un modelo teórico para la investigación en historia de las matemáticas 13

Parte I. La perspectiva de un historiador

  1. Introducción
  2. Mis puntos de referencia
  3. Planteamiento general del problema

Parte II. Paradigmas Matemáticos

4.Los Paradigmas Matemáticos Universales

5.Sic transit pax mathematicorum

6.El problema de la modernidad


Agradecimientos

En trabajos de la dimensión temporal de la que en este libro se presenta son muchos los recuerdos en los que se precisan sentimientos de gratitud. Incluirlos a todos aumentaría considerablemente el tamaño de este epígrafe y eso pondría nerviosos -una vez más- a todos los colegas que no tienen más recipiendario de gratitud que el jefe de turno. Por eso, entre otras razones, voy a concentrar la nómina en aquellas personas que me han ayudado de manera concreta en el proceso de edición de esta obra.

En primer y destacado lugar y por todo tipo de razones quiero dejar constancia de mi agradecimiento a mi compañera Elena, sobre todo por haber soportado con estoicismo la sobrecarga de trabajo que ha supuesto la materialización impresa de esta empresa.

Quiero también destacar mi gratitud hacia José Javier Martínez Fernández, por la minuciosa lectura del texto de los Paradigmas y Matemáticas y por haber puesto a mi disposición los documentos de su archivo personal relativos al curso 1980-81, cuando el hoy Prof. Martínez Fernández era Delegado de 2º de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de Zaragoza.

También leyó el citado manuscrito el Prof. Serguei Kara-Murzá, lo que propició una interesantísima discusión entre nosotros -en la que aprendí muchísimo- y sirvió para pulir algunos detalles del discurso.

Como los tiempos cambian a mejor, debo dejar pública constancia de las facilidades y ayudas recibidas del Decano de la Facultad de Ciencias de Zaragoza para la publicación de este libro.

Mariano Hormigón
Zaragoza, julio de 1995


Presentación

Este libro es producto de un proceso de larga gestación. Las ideas fundamentales sobre los Paradigmas y Matemáticas se articularon en los días de elaboración de mi tesis doctoral y constituyeron el Capítulo I de la Memoria con la que opté y conseguí el grado de doctor, aunque el periodo de tiempo transcurrido entre la opción y la conclusión fuera más largo que el que la costumbre universitaria permitía presumir.

Los avatares vividos por las ideas que se contienen en este trabajo se relatan de una forma no exhaustiva en el Desahogo epilogal. Su perfeccionamiento habrá que dejarla para posterior ocasión monográfica.

De la lectura de esta parte final del libro podrá entenderse sin excesiva extrañeza que mi fervor sobre el tema de los Paradigmas quedara aparcado en los términos reflejados en el Capítulo I de la tesis y de los trabajos que presenté en las Jornadas Hispano-Lusas de Matemáticos de San Feliu de Guixols en 1980 y del I Simposio sobre Metodología de la Historia de las Ciencias que se reunió en Madrid en octubre de 1981.

En primer lugar, mis discipulos/as y colaboradores, que me instaban a completar el tema de los Paradigmas en el sentido expuesto muchas veces en cursos de doctorado, seminarios y conferencias, y también la insistencia de algunos colegas españoles y extranjeros en la misma dirección -entre los que querría destacar la amable contumacia de Mario Otero, de la Universidad La República de Montevideo, y LuboNov, de la Academia de Ciencias de Praga- me ayudaron a no poderme olvidar de un tema sobre el que prácticamente no escribí una línea en más de diez años.

Por fin, llegó el momento. Fue en el XIX Congreso Internacional de Historia de la Ciencia -cuando muchas personas bienintencionadas nos deseaban un largo periodo vacacional, tras el considerable esfuerzo dedicado a la preparación, organización y celebración de la reunión- cuando pensé que podían reunirse las condiciones adecuadas para probar las ideas sobre los Paradigmas por medio de la convocatoria de un encuentro internacional al más alto nivel en el que, en la medida de lo posible, participasen los mejores historiadores de las matemáticas del mundo. Lo posible estaba condicionado, obviamente, por la disponibilidad de gente importante para querer visitar Zaragoza en un intervalo de trece meses y por la voluntad de estos investigadores de acudir a discutir en torno a unas ideas concretas sobre Paradigmas y Matemáticas con aportaciones específicas.

Indudablemente, para el buen desarrollo del debate, había que presentar una amplia panorámica conceptual sobre la que pudieran articularse las propuestas sobre paradigmas, estilos y revoluciones de las diferentes perspectivas de los distintos autores.

Así se convocó en el otoño de 1993 la reunión y a la iniciativa respondieron Ivor Grattan-Guinness (Middlesex), Joseph Dauben (Nueva York), Serguei Demidov (Moscú), Christine Phili (Atenas), Eckart Leiser y Reinhard Siegmund-Shultze (Berlín), Sergio Nobre (UNESP-Río Claro), Leo Corry (Tel Aviv), LuboNov, Mario H. Otero (Montevideo), Chavdar Lozanov (Sofía), Alexander V. Soldatov (San Petersburgo), Liviu Sofonea (Brasov) y J.C.B. Tiago de Oliveira (Evora). De los participantes extranjeros que habían anunciado su presencia, solamente Jean Dhombres (Nantes-París) se vio imposibilitado a la hora de realizar el viaje por tristes problemas familiares.

Entre los españoles que aportaron sus ideas a la reunión cabe destacar a Mary Sol de Mora, Javier de Lorenzo, Javier Echeverría, Alberto Dou, José Llombart, Juan Navarro, además del elenco zaragozano formado por Elena Ausejo, Mª Angeles Velamazán, Fernando Vea y yo mismo.

Los trabajos más notables presentados han sido recogidos en un volumen que con el mismo título que la reunión ha sido editado por la Editorial Siglo XXI de España Editores en 1995.

Zaragoza, julio de 1995


Paradigmas y Matematicas:
Un Modelo Teorico para la Investigacion en Historia de las Matematicas

Felix qui potuit
Virgilio (Georg., II, 490)

PARTE I

La perspectiva de un historiador

1. Introducción

El mundo de los científicos es cada vez más complejo, más conflictivo y, en algunos momentos, aparentemente confuso. Los científicos actuales pueden estar inmersos en varios marcos distintos. En un primer grupo se instalan los buscadores desinteresados de la verdad. En espíritu son coincidentes, de hecho, con los planteamientos básicos galileano-newtonianos que caracterizan el nacimiento de la ciencia moderna. Otro grupo importante, fundamentalmente afincado en instituciones de tipo docente, lo constituyen los esteticistas, partidarios del estudio y trasmisión de las ideas matemáticas en función de su perfección y belleza. Esta especie de corriente neoplatónica tiene cierta importancia entre los cultivadores de las restantes ciencias formales y entre las ramas teóricas de las experimentales. El tercer grupo lo forman los utilitaristas inmediatos, adscritos primordialmente a instituciones o líneas de investigación de resultados próximos, visibles y materializables. Constituyen un sector bastante bien remunerado económicamente. Por supuesto, quedan algunos que piensan que la ciencia debería ser una herramienta de liberación de los quebrantos morales y, sobre todo, materiales de la mayoría de las personas y de pertrechamiento crítico ante las memeces y mentiras que proliferan en los ambientes intelectuales. Por penúltimo, el sector técnico, reproductor de ciencia normal aideológica, no se reclama de ningún paradigma, de ninguna escuela, de ninguna corriente, de ningún sistema de pensamiento y simplemente utiliza la ciencia sin preocuparse en absoluto de dónde surge, qué objetivos tiene, para qué sirve o cuáles son las corrientes en las que debiera servir. Además están los filósofos.

Le tomaré prestada a propósito una idea a Medawar: la filosofía es actividad intelectual peligrosa que, por la manía de algunos de hacerla larga, esotérica y plúmbea, se convierte en tediosa y aburrida(1). No tendría porqué ser así, pero la necesidad de rigor y precisión en los conceptos y en el lenguaje ha ido articulando esotéricos cuerpos de doctrina de comprensión enormemente complicada, hasta tal extremo que todo lo que es farragoso y aparentemente complejo, cuando no es ciencia, es filosofía. El summum del difícil entramado se encontrará, por tanto, en la filosofía de la ciencia, conjunto de sublimes saberes con los que podrán desentrañarse los recónditos misterios de la Naturaleza, los de la sociedad, los de la gnosfera de Vernadsky y todas sus interrelaciones. Todo un programa que puede venderse -y comprarse- porque se aparenta libre de todo tipo de contaminación espuria en una inconfesada reminiscencia del mismísimo Platón.

Entre las cosas que se han escrito sobre filosofía de la ciencia en los últimos años, salvando el respeto a la necesaria servidumbre que algunos grandes tratados -como el imprescindible de Geymonat(2)- imponen, una de las que más me ha interesado es el ensayo de definición que Panza ha elaborado como introducción a su trabajo sobre las ideas de Gonseth(3). Para Panza la filosofía de la ciencia no era el nombre de una disciplina hasta comienzos del presente siglo, cuando se ha producido

"un mouvement double qui n'a (...) qu'une seule origine: la conviction que quelque chose existe qu'on appellerait la science qui par ses modalités d'être et de manifestation, reste différente de quelque chose d'autre, qu'on appellerait la philosophie; domaine l'un de l'exactitude, de la précision, de la fidelité à l'expérience sensible, ou bien de l'aridité, de l'étroitesse, de la pauvreté d'esprit, l'autre du vague, de la métaphore, des fantasmes, ou bien de la totalité, de la plénitude, de la richesse d'horizons".

Panza considera que una gran parte de la filosofía de las ciencias de nuestra época es hija de esta concepción, con sus luces y sus sombras, con sus aportaciones concretas a la ciencia y a la filosofía. Digámoslo en sus propias palabras(4):

"Bien que cette tentative ait, aux fils des années, abouti à des résultats qui ont enrichi la pensée par la mise en lumière de certains problèmes (comme, par exemple, celui de la démarcation ou des critères de controlabilité des hypothèses universelles) qui étaient restés auparavant cachés, ou d'aspects nouveaux de problèmes classiques (comme l'est, par example, le cas du problème de l'induction), elle a aussi poussé les réflexions d'une communauté de plus en plus large d'individus vers des directions bouchées, au point de conduire à l'inmobilité. Elle a, de principe, encouragé et légitimé une réflexion sur la science en général, étrangère par principe et par vocation aux contenus spécifiques (techniques) de toute théorie particulière (comme si une science générale et non particulière pouvait exister); une réflexion qui n'a pas visé à faire ressortir ce que dans tout particulier et spécifique il y a de général et d'universel, ni à exprimer de la manière la plus ouverte et simple, mais qui s'est transformé, en revanche, dans une habitude à considerer la spécificité et la particularité des objets relevant d'une technicité comme dépourvue de tout intérêt philosophique et à substituer l'exigence d'un registre large (et, sans doute, en quelque sorte double) de spécificités par la théorisation d'une généralité, pour ainsi dire en soi, possible et profitable. Derrière le masque de son exactitude et de sa rigueur, la philosophie des sciences, pensée comme discipline, a, au fil du temps, perdu toute vocation à la compréhension d'une alterité quelconque; elle s'est repliée sur son langage, sur sa même tradition, sur la défense de ses frontières disciplinaires".

Situémonos, pues, ahí para construir la trama del discurso. Ello no obstante, adelanto que yo, haciendo pública confesión de mis limitaciones intelectuales, debo declarar y declaro que no alcanzo a dominar ese universo conceptual, para el que no me preparé adecuadamente en mis años mozos y no he sido suficientemente diligente y estudioso en los muchos que me cayeron encima después para poder aprehender en mi limitado cerebro todas las sutilezas de la ciencia en general y cada una de las ciencias en particular, ingrediente necesario de los sistemas filosóficos y de su sistema de preguntas y respuestas mutuas. Mi instrucción alcanza a las matemáticas que aprendí en su momento y a la historia de su devenir y el de sus parientes más próximas. Por lo tanto, el meollo de mis preocupaciones filosófico-científicas se encuadra de forma preferencial en esos ámbitos y las preguntas clave cuya respuesta se me ha hecho más necesaria han surgido también de consideraciones íntimamente vinculadas a esos capítulos intelectuales. Aún podría precisar más, porque ¿qué es en definitiva la ciencia sino precisión? Afinando, pues, señalaría que, a pesar de la tinta vertida a lo largo de los siglos por filósofos, pensadores en general, científicos y profesionales del ramo sobre las matemáticas, no tengo claras algunas cuestiones, y pido excusas por la insolencia teórica de pensar que no lo están. Aunque a lo largo del presente escrito se irán desgranando otros detalles, señalaría como entrante del menú dos de ellas.

La primera es tan general y directa que casi pretende esconderse ya en la batería de cuestiones que se formulan sobre las matemáticas: la relativa a su unidad o su pluralidad. Cuanto más se insiste en el escurridizo concepto de la unidad de las matemáticas, entronizado por Hilbert(5) en la solemne puesta de largo del Segundo Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 -al que visitaré de nuevo posteriormente-, más se complica un panorama plural, una de cuyas fronteras históricas, la que separaba el quehacer matemático del de los físicos teóricos, está prácticamente borrada. Un penetrante y bien pertrechado filósofo como Albert Lautman abordó el problema de la estructura y la tensión unidad-multiplicidad de las matemáticas en sendos ensayos(6). En el relativo al estudio de la unidad de las matemáticas contemporáneas señala que su fin es(7)

"seulement de caractériser dans leurs ressemblances communes les diverses théories qui (...) ont pour objet l'étude de la structure globale d'un tout"(8).

Sin embargo, la idea del todo se ve obligada a coexistir, en principio pacíficamente, con el derecho profesional de quienes se mueven cuantitativamente en el terreno de otras ciencias naturales, sociales, humanas, por no hablar de las técnicas. Hilbert señalaba en un emblemático trabajo sobre el pensamiento axiomático que

"los más importantes pensadores en las matemáticas han mostrado un constante interés por las leyes y, en general, por el orden que priva en las ciencias vecinas"(9).

Dicho en otras palabras, tan clásicas que casi podrían oírse en las tertulias de los enteradillos que se han puesto de moda en los últimos años en los medios de información audiovisuales: propiamente ¿hay que hablar de matemática o de matemáticas? o, reenunciado para evitar contratiempos lingüísticos, ¿es la matemática una, singular, o es un concepto indefinido y por lo tanto plural? Hasta hace poco más de un siglo esta dicotomía casi hubiera carecido de sentido, ya que hasta entonces el borde de separación de la ciencia príncipe con el resto del mundo era nítido y los matemáticos defendían orgullosamente su baluarte ante los ataques de las restantes actividades intelectuales. Hoy el asunto ya no está tan claro. El prestigio -matemático- de físicos e ingenieros ha movido los cimientos de las torres de marfil de los puretas a ultranza y, como ya he apuntado antes, las fronteras se difuminan a velocidad apreciable. El problema tiene su enjundia a pesar de su simplicidad -¿o es, como siempre, enjundioso porque tiene un enunciado claro y simple?-.

Dejémoslo aquí, de momento, para enunciar otro problema que me surgió estudiando el concreto tema de la historia de las matemáticas en España. Aquí, desde los tiempos de la llamada polémica de la ciencia española, ha habido una obsesión valorativa sobre la cuestión de la modernidad de las producciones que en esta rama del conocimiento han hecho los españoles. La fórmula utilizada para demostrar la posible obsolescencia de las matemáticas de una determinada época, consistente en comparar lisa y llanamente títulos y contenidos de libros españoles con otros elegidos de la literatura científica mundial, nunca me pareció rotundamente convincente. Al fin y al cabo el conocimiento y estudio de tópicos considerados importantes varios siglos después no creo que sea razón suficiente para estimar la valía no sólo intrínseca sino global de la obra de un autor. Por si fuera poco, las vidas científicas cotidianas parecen ratificar como excepción el conocimiento de todas las novedades que un conjunto concreto de personas produce en una determinada época. Desde luego la nuestra es una corroboración de esta aprensión. Hoy no hay nadie que domine toda una macroárea de conocimiento como las matemáticas o la física, por más que haya funcionarios en algunos países que aspiren a pasar por sabios de ese estilo. Mas no es sólo cuestión de mirar a la segunda mitad del siglo XX con su plétora inabordable de información en todas las ramas del saber en casi todos los países(10): hace varios siglos que el saber se ha hecho grande y que los científicos, salvo escasísimos casos que se pueden contar con los dedos de muy pocas manos, han conocido unas cosas y otras no. Si recorremos hacia atrás la línea del tiempo, las dificultades de comunicación complican aún más el problema de establecer la línea que delimita la modernidad. Problema que en mi cerebro tuvo un origen español, pero que en absoluto es ajeno a las preocupaciones de muchos otros países. Franceses y alemanes, en una cierta emulación de la madrastra de Blancanieves sobre la belleza, llevan siglos preguntando a su particular espejo mágico quién es el más moderno. Otros países no son en absoluto excepción. ¿Podría por tanto escudriñarse algún tipo de patrón objetivo sobre el que poder contestar más o menos certeramente el problema de la modernidad de una producción matemática?

Estas dos preguntas, en principio inconexas, se juntaron un día al profundizar sobre el estudio de las matemáticas contemporáneas desde una perspectiva española y, por lo tanto, periférica, pero alguna vez había que hacerlo. Habitualmente los periféricos estamos acostumbrados a escuchar con estoicismo lo que se nos dice desde el centro -o desde los centros- sobre qué es lo que hicimos bien y lo que hicimos mal en matemáticas y en casi todos los órdenes de la vida(11); por una vez, y en el ámbito de las matemáticas, no creo que se tome por descaro imperdonable la formulación de algunas ideas surgidas desde la periferia. Claro que avanzar en nuestros días una hipótesis de trabajo que encuadre las elaboraciones teóricas que en el terreno de las matemáticas se realizaron hasta más o menos los treinta primeros años del siglo XX es ciertamente un problema arduo, aunque necesario. Es arduo porque la tinta vertida sobre algunos tópicos, como por ejemplo el problema de los fundamentos de la ciencia en general y de las matemáticas en particular, es copiosa, pero, no obstante, la dificultad no excusa la necesidad, ya que las respuestas no son sino una sucesión de aproximaciones con las que se van construyendo conclusiones no necesariamente sucesivas ni convergentes, pero que sí aportan sucesivamente luz sobre el tema.

Como he apuntado ya, el análisis reflexivo sobre las matemáticas ha estado desde hace dos siglos en el núcleo del pensamiento filosófico, al igual que en otros momentos de la historia, como la antigüedad clásica en el lado heleno o en determinados ámbitos renacentistas e ilustrados. Lo que parece síntoma más novedoso en las dos últimas centurias es que la filosofía de la ciencia no ha podido perder de vista en ningún momento el cataclismo teórico que las ideas matemáticas elaboradas en el siglo XIX supusieron para todo el edificio conceptual de la ciencia y, por tanto, de la filosofía que reflexionaba sobre ella. Además, la situación del conjunto de las ciencias respecto de las matemáticas -y muy especialmente la física- ha supuesto que el nivel científico de los diferentes saberes se mida en función del grado de utilización del aparato instrumental matemático, resultando que cualquier modelo de análisis teórico ha situado en el centro de sus preguntas fundamentales las relativas al hecho matemático.

Naturalmente, para no parlotear en el vacío -lo que puede ocurrir cuando uno se aproxima a un tema tan extenso y con tantas aristas y perspectivas- es obligatorio fijar algunos elementos de referencia. Pero, indefectiblemente, el marco exige como poco una delimitación y alguna opción previa que a modo de aparato axiomático ayuden a comprender algunas de las reglas del juego.

Desde 1931, año de celebración del II Congreso Internacional de Historia de las Ciencias en Londres, los historiadores de la ciencia del ancho mundo han definido sus posiciones de una manera terminante respecto de sus concepciones básicas. O han dejado de hacerlo, lo que no ha dejado de suponer una aclaración bastante rotunda de sus posiciones. Se diga lo que se diga, esto ha condicionado la evolución posterior de la teoría de la ciencia. Mas después de la Segunda Guerra Mundial, o al calor de la Guerra Fría, hemos asistido a una ofensiva del mismo Popper y de algunos discípulos postpopperianos en el sentido de intentar una tercera vía entre las líneas de desarrollo materialistas e idealistas en el área del análisis histórico de la ciencia que ha colocado en el candelero del interés general -casi popular- un tema ideológico: ¿es la ciencia -o sea el conocimiento- una variable cuyo desarrollo escapa a la explicación marxiana? Desde luego que una respuesta en sentido afirmativo seguiría teniendo mucho valor de uso y de cambio en el mundo de nuestros días para determinadas fuerzas económicas, políticas y sociales que, a pesar de su supuesta victoria en el terreno geopolítico, siguen mereciéndose similar comentario al que Unamuno dirigió a las fuerzas de Franco en la última de las contiendas civiles de España: han vencido, pero no han convencido.

Las exteriorizaciones impresas de Lakatos(12) mostraron claramente el hecho de que la filosofía de la ciencia actual no sólo no ha sido ni es neutral, sino que está imbricada en el confrontado mundo de nuestros días. Y que cualquier resultado, por banal que parezca, tiene implicaciones de tipo extraconceptual(13). Aunque el reconocimiento de que la ciencia es un fenómeno social no puede ser, por evidente, una conclusión para un trabajo de investigación, por más que este Mediterráneo aún esté deliberadamente y aparentemente oculto para muchos autores, hay que convenir que esta posición se debe, en más de una ocasión, a la defensa de intereses muy concretos y a menudo poco confesables.

Pero la ofensiva popperiana y postpopperiana llegó y en buena medida sigue ahí con toda su pujanza y todo su atractivo. Al fin y al cabo, Popper ha tenido al servicio de la difusión de su pensamiento a muy poderosos aliados que le sostenían en su cruzada antimarxista(14). Una posición frontal basada, según uno de los exégetas del Coloquio de Cerissy(15), en la condena de las ideas de Marx

"en raison des conséquences antidémocratiques qu'elles ont eu dans l'histoire réelle de l'humanité".

Casi al mismo tiempo llegaron con bastante fuerza las doctrinas filosófico-científicas de sus seguidores(16). De los fieles y de los que tenían que jugar el papel de leves críticos. Y entre éstos justo es reconocer que las formulaciones teóricas de Lakatos, Kuhn y Feyerabend(17), por citar a los más notables jefes de fila dentro del territorio de los asuntos relacionados con la ciencia, han irrumpido en los últimos treinta años en los medios intelectuales con un impacto tal que han conseguido empañar en cierta medida las interpretaciones sobre la génesis y evolución de las ciencias que se creían consolidadas desde bastante tiempo atrás y, con especial acento, desde la década de los treinta. Entre todo el bagaje conceptual postpopperiano, la artillería terminológica de Kuhn ha recibido muchísimos plácemes porque, además de su escaso compromiso externo, las formulaciones de algunos de sus elementos básicos (ciencia normal, revoluciones científicas, etc.) permiten una versatilidad que otros ensayos de aproximación difícilmente tienen. Como decía el recientemente desaparecido Mikulinski, el libro central de Kuhn de 1962, The Structure of Scientific Revolutions(18), sirvió para apuntalar las debilitadas posiciones del internalismo en un momento en que sus defensores estaban en franca retirada de la escena intelectual(19).

Aclaradas mis reglas del juego más profundas, a saber, que los hechos en la historia nunca pueden explicarse hasta total satisfacción en una visión aislada y separada de las múltiples variables que impone la vida, es claro que hay una costumbre intelectual -y el propio oficio de historiador de la ciencia o de lo que sea lo demuestra- de construir conceptos e historias en atención a variables específicas. En ese sentido y según ese peculiar derecho consuetudinario, espero que no se tome por incalificable atentado escudriñar los hechos matemáticos desde el punto de vista de la historia del pensamiento, aunque declaro con una cierta solemnidad que, en mi opinión, se trata de un enfoque sesgado de la cuestión.

Se trata de una reflexión que tiene algo de experimento de laboratorio de ideas. ¿Cabe hablar de un mundo interno, exclusivo, del pensamiento matemático? o, en otra formulación, ¿son las matemáticas una realidad aislable? son dos expresiones equivalentes a las que hemos presentado más arriba como formulación de las inquietudes que se han presentado como origen remoto de este trabajo. La respuesta precipitada e irreflexiva en cualquiera de las dos posibles direcciones extremas podría acarrear una infinidad de contraejemplos y, sin embargo, este tipo de posiciones se han mantenido durante siglos -y por supuesto ahora- por gente muy entendida en éste y otros asuntos relacionados. Hay matemáticos, entre los que los casos más conocidos pueden ser Hardy(20) y Dieudonné(21), que defienden las matemáticas inútiles como una perla, y tienen además la delicadeza de no añadir que en una ciénaga de pragmatismo. Titchmarsh, en los años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, lanzaba al público no iniciado esta curiosa reflexión(22):

"Hay partes de las matemáticas que son útiles. Los astrónomos dieron la bienvenida a los logaritmos porque simplificaban sus cálculos. La teoría de las ecuaciones diferenciales permite a los ingenieros calcular cosas como el fluir del agua en las tuberías. La teoría de los operadores lineales permite a los físicos hacer hipótesis sobre el átomo. Pero los verdaderos matemáticos no cultivan las matemáticas por estas razones (...) Los que cultivan las matemáticas puras lo hacen para proporcionarse una satisfacción estética, que pueden compartir con otros matemáticos, y también porque les resulta divertido".

Siempre, y también desde luego en tiempos mucho más recientes, está presente la moderna obsesión esteticista de profunda raíz copernicana o incluso clásica. Así, Moshe Flato, al analizar el fracaso del credo bourbakista, señala(23):

"[La] passion, qui surprend souvent les non-initiés et qui suscite parfois leur ironie sinon leurs sarcasmes, exprime volontiers ses mobiles en germes esthétiques: qui n'a pas entendu un mathématicien parler d'un beau théorème ou d'une démonstration élégante".

Por otra parte, para otros, y muy señaladamente para intelectuales no matemáticos, las matemáticas son una especulación de la mente por medio de las cuales, según la famosa expresión de Lenin(24) - fuertemente inspirada por cierto en A. Rey-, es bastante posible reducir la materia a ecuaciones. La tensión entre ambas perspectivas -tras el peculiar y discreto culto de Gauss a la aritmética- se hizo patente a partir de la aparición en escena de las geometrías no euclídeas y está sin resolver en la teoría, aunque no en la práctica, sobre todo en la de los fondos dinerarios dedicados a la investigación de cualquier país desarrollado del mundo. Estudiar la realidad del hecho matemático en el ámbito planetario o en cualquier comunidad científica, sobre todo a partir de la Revolución Francesa, impone tener en cuenta puntos de referencia en ambos campos de génesis matemática para poder avanzar en el conocimiento de su estructura aproximada, ya que, como obra de creación humana que es, siempre quedarán flecos de difícil racionalización. Es el capítulo nada representativo ni significativo de los llamados genios. Las matemáticas, como todas las demás ciencias y bastantes de las artes, son resultado del trabajo personal y del colectivo en que las personas desenvuelven su actividad. Incluso la imaginación y la capacidad de establecer analogías creadoras se favorece también con un adecuado entrenamiento. Al fin y al cabo, lo más positivo del mundo que la Humanidad comenzó a construir hace doscientos años es la posibilidad y el derecho de las mayorías y minorías carentes de cualidades excepcionales a elaborar cosas positivas, entre ellas la ciencia.

2. Mis puntos de referencia

La Primera Guerra Mundial dejó unas sorprendentes secuelas en el terreno científico y técnico. El inmenso laboratorio que constituyeron los campos de batalla y los elevados rendimientos destructivos obtenidos de la aplicación directa de la ciencia al objetivo bélico transformaron rotundamente la valoración social de la ciencia. El positivismo, que había alentado el desarrollo de las ciencias -a veces de forma un poco pueril- en el siglo XIX, se convirtió en una necesidad imperiosa para animar el perfeccionamiento defensivo de los más potentes estados. Las implicaciones destructivas de la ciencia se hicieron tan evidentes que se produjo una generalización uniforme sobre la actividad de los científicos profesionales. Las secuelas de esta generalización fueron, además de falsas, nocivas. En efecto, en la opinión pública se asoció la idea de sabiduría científica a la de utilización bélica. En el interior de la comunidad científica se eludieron ostentosamente las aplicaciones concretas que su trabajo pudiera tener. Y, aunque se siguieron realizando reuniones científicas, se respetó unánimemente el criterio de desconectar el contenido del trabajo científico de los resultados que pudieran obtenerse de ese trabajo. La actitud de los estados más potentes económicamente también cambió, detrayéndose fondos específicos para programas de investigación concretos, normalmente secretos. Del esfuerzo económico de los estados, de la opinión general y de la actitud de los científicos tuvo perfecta conciencia el mundo tras el resultado de proyectos como el que se desarrolló en Los Alamos(25). Y ese proyecto, a pesar de su grandiosidad científica, representa la prehistoria respecto a la organización de la investigación científica en décadas más próximas a nuestros días. Las actitudes de los científicos que participaron en la creación de la bomba atómica también son conocidas: unos se encogieron de hombros manifestando que no era cosa suya; otros, como Leo Szilard -uno de los hombres claves de aquel programa- abandonaron la física en 1946, cuando se enteraron de los resultados de su sabiduría; y, entre otros, Einstein manifestó: ¡ojalá me hubiera hecho fontanero!

El complejo panorama de la ciencia contemporánea, para no evidenciar la servidumbre destructiva de la mejor dotada ciencia institucional, generó otra componente representada por el oficio tradicional y aparentemente inocuo de la ciencia. Esa otra componente es el cientismo. El cientismo significó -y significa- el regreso de las posiciones teóricas absolutas sustentadas en fuentes epistemológicas prekantianas. Los presupuestos cientistas fueron bien recibidos por las clases dominantes de los estados interesados en la inversión económica progresiva en áreas científicas de utilidad concreta, generalmente más cara, no divulgable y de intereses menos confesables. El cientismo era -y es- una maniobra de diversión. La misión de escaparate cientista le fue confiada a la Universidad, en la que no se podía prescindir de su labor investigadora, pero sin importar (económicamente) de forma excesiva los resultados que globalmente se obtuviesen de tales estudios. Así de sencillamente se operó el proceso de separación de las dos vías de trabajo científico que quedaron institucionalizadas tras la Primera Guerra Mundial. Semejante dilema -aunque no siempre planteado explícitamente- entre trabajo y resultados de dicho trabajo tomó cuerpo en términos de contradicción entre la necesidad (estatal) y la libertad (personal) de investigación. Por ello resulta coherente históricamente el retorno a los planteamientos positivistas de corte radical en el periodo de entre-guerras, como puede comprobarse por el barullo organizado por el Círculo de Viena sobre temas como el criterio de verificabilidad(26) -sobre lo que insistiré enseguida-.

Mas, por el principio de acción y reacción, las situaciones que se distinguen por su clara crudeza generan movimientos contrarios más explícitos cuanto más directa es la actuación institucional. Así, ante la evidencia de las lecciones de la guerra y los avatares históricos subsiguientes, comenzó a desarrollarse una nueva tendencia de interpretación de la ciencia, de lenta progresión cuantitativa, que comenzó por el establecimiento de un enfoque distinto de su propia historia. Esta tendencia, que se adscribiría posteriormente bajo el calificativo de social, aportaba una argumentación sólida para explicar la fijación y el desarrollo de las ideas científicas, su relación con las fuerzas productivas o destructivas, y sobre la configuración definitiva de determinadas áreas y líneas de investigación. La escuela inglesa de historia de la ciencia, una de las comunidades científicas más interesantes del siglo, tuvo su portavoz más genuino en John D. Bernal, que hay quien considera uno de los pensadores más importantes de este campo en lo que va de siglo(27). Y, por si valiera como prueba del interés que la obra cumbre de Bernal, la Historia social de la Ciencia, ha venido suscitando quede recordada su ininterrumpida reimpresión del texto original desde 1954(28). La aportación de la escuela crítica británica supone la adición de una componente fundamental para la comprensión correcta de los procesos científicos. Pues si bien esta metodología histórica no es suficiente para explicar el nacimiento, surgimiento o irrupción de una determinada teoría científica, ni es concluyente respecto a la lógica interna de los experimentos cruciales, sí que resulta inapelable en la explicación de los procesos de consolidación de tales teorías y en la consideración institucional e impulso subsiguiente de las mismas. Por esta vía se han hecho admisibles y necesarios los estudios sobre la incidencia de la ciencia en el análisis de la situación de determinados entornos ideológicos o sociales (y viceversa).

En definitiva, este tipo de enfoque ha hecho aflorar en forma mejorada algunos de los postulados básicos del periodo ilustrado. Porque las ciencias útiles han vuelto a aparecer de forma inequívoca -aunque a veces la utilidad sea fatal- en el concierto mundial, al igual que ha reaparecido la idea de progreso asociado al estudio de las ciencias físicas y naturales y algo también de las formales. Esta humanización de los objetivos de la ciencia, visible en ambas direcciones -bélica o de progreso-, es un elemento más de crisis en el difícil equilibrio de intenciones y realidades del mundo científico.

Digamos, además, que las matemáticas siempre han gozado entre los filósofos profesionales, salvo las excepciones dimanantes de los momentos de mayor furor religioso, de buena opinión. Cuando menos por dos razones. Por una parte, las matemáticas en la cultura occidental han ocupado un estratégico punto de partida en la consolidación del pensamiento griego(29). Por otra, el tradicional carácter tautológico de sus proposiciones las ha mantenido en una respetable posición de aproximación a la verdad, cuando no se han identificado con la verdad misma. Además las matemáticas, en lo que les ha sido dado conocer a conjuntos humanos no especializados, han permitido ganar seguridad en una de las más importantes aspiraciones humanas, cual es la de predecir; predicciones que, en ocasiones, han llegado a permitir completar el paisaje del Universo(30). Por último, las matemáticas han solido desarrollarse al margen de las controversias que han agitado las estructuras conceptuales de otras disciplinas científicas con mayores implicaciones ideológicas en la batalla de lo cotidiano, esto es políticas, como en su día la astronomía o, en tiempos más próximos, la física o la biología.

Sin embargo, las paradojas internas y externas, surgidas o planteadas desde fuera o desde dentro, y la aparición de teorías matemáticas lógicamente consistentes -o sea, verdaderas- pero no intuibles en el espacio físico ordinario admitido como real, plantearon en el siglo XIX una convulsión suficiente para atraer la atención tanto de los filósofos profesionales como de los propios matemáticos hacia la reflexión sobre el problema de los fundamentos y del desarrollo de las teorías matemáticas.

No voy a entrar en el cuerpo a cuerpo concreto de discutir o simplemente reseñar las opiniones de quienes desde los diversos sistemas y teorías se ocuparon de repensar las matemáticas desde los mismos años de la formulación del cálculo y de la mecánica clásica, no porque no tenga interés, que lo tiene y mucho, sino por no alargar aún más el proemio introductorio al meollo de la cuestión. Ello no obstante, como quiera que entre lo que se promete se encuentra el término paradigmas y éstos tienen una genealogía filosófica concreta, habrá que hacer una visita a las raíces de las que se han nutrido algunos de los filósofos contemporáneos de la ciencia que más han influido en los medios dominantes de este atormentado fin de siglo.

A comienzos de los años veinte un grupo de filósofos, entre los que destacaron Carnap, Feigl, Frank, Gödel, Schlik y otros, se plantearon de nuevo el problema de la liberación de la filosofía de cualquier tipo de metafísica. Este grupo, conocido por el nombre de Círculo de Viena, pretendió cambiar radicalmente la filosofía vigente. Este objetivo se concretó en un principio en la búsqueda de un criterio de significatividad empírica. Uno de estos criterios fue el sostener que las proposiciones empíricamente significativas son verificables, saltándose a continuación a la polémica sobre el sentido de la posibilidad de verificación. Los sucesivos planteamientos (verificación lógica, física, mixta, etc.) desembocaron, en función de las aportaciones de Reichenbach, en criterios de verificación relativos al desarrollo de la ciencia. Pero a pesar de los esfuerzos denodados por rigorizar el concepto, aparecieron con su machacona impertinencia los conjuntos infinitos de fenómenos, obviamente imposibles de verificar. Este primer y serio contratiempo condujo a Carnap y otros a reflexionar sobre el lenguaje y crear un lenguaje empirista que permitiera expresar de forma consistente las proposiciones empíricas.

La obsesión por la ciencia empírica alejó a la mayoría de estos filósofos de la reflexión sobre las matemáticas. Y quienes trabajaron (Gödel, Carnap y alguno más) en el dominio de las ciencias abstractas lo hicieron con más implicaciones lógicas que matemáticas estrictas. Gödel, que entró en la historia de las matemáticas por la mayor de las puertas, lo hizo gracias a prolongaciones en la frontera de los fundamentos.

Hay que observar un proceso transitivo de implicaciones y retroimplicaciones sucesivas para encajar el Círculo de Viena y la sucesión de críticas y contracríticas hasta llegar a una formulación más o menos compleja de la filosofía de las matemáticas desde concepciones nuevas.

La respuesta a los planteamientos del Círculo de Viena fue protagonizada, desde los extremos que aquí nos afectan, por Popper, aunque también básicamente se realizó en el terreno de la física. Popper planteó la refutación como método empírico adecuado, afirmando que sólo podía reconocerse el carácter científico de las teorías en función de su posibilidad de contrastación con sus postulados básicos, con la exigencia añadida de la capacidad de predicción. En consecuencia con esto, para Popper se anula el valor científico de las teorías infalsables o teorías con hipótesis ad hoc adicionales. Lakatos, Feyerabend y muchos otros filósofos y científicos han contestado vivamente este planteamiento que, al amplificarse en función de las implicaciones ideológico-políticas de la obra de Popper, se fue desmoronando con sus seguidores-críticos.

Entre ellos, Lakatos llegó a formular una lógica del descubrimiento matemático que, iniciada en los años 63-64, se vio varias veces interrumpida por su subsiguiente e inevitable acercamiento a la filosofía de la física. Muchas de las ideas de Lakatos sobre las matemáticas aparecieron como obras póstumas(31) que editaron sus colaboradores en la década de los setenta. Sin embargo, a pesar del indudable interés que puede representar la elección de las matemáticas como campo para el análisis de las teorías científicas, y debido quizás a su muerte prematura, no deja de ser un intento parcial -como reconoció el mismo Lakatos-, al quedar en el tintero multitud de aspectos de la historia de las matemáticas que necesitaban una mayor reflexión.

Lakatos arranca de la crítica al formalismo reprochándole, precisamente, su desprecio de la historia. Esto, que es una verdad de facto, fue sin embargo negado explícitamente por Hilbert en el Congreso de París de 1900, al reclamar con insistencia la unidad multidireccional de las matemáticas(32). Lakatos ha trabajado sobre ejemplos concretos para estudiar problemas de metodología. La denuncia de Lakatos del carácter ahistórico del formalismo podría generalizarse a muchos repensadores de las matemáticas. Y precisamente podría decirse que el interés despertado entre los historiadores de la ciencia por parte de las corrientes postpopperianas está muy relacionado con la posición teórica basada en la exigencia de una interrelación efectiva entre la filosofía y las matemáticas, apoyada casi siempre en tesis de Kant.

Desgraciadamente, la muerte de Lakatos dejó incompleto su esfuerzo de elaboración de una lógica del descubrimiento matemático bajo la que palpita la historia real como elemento demarcador de la teoría. Lakatos aborda en su vivo y recreado trabajo -aunque a veces de forma poco sistemática- la mayor parte de los problemas teóricos más importantes. Los editores advierten a menudo la conveniencia de poner en cuarentena alguna de las ideas de Lakatos, que pudieran no haber sido sostenidas por él mismo en la forma en que figuran en el texto.

Lakatos repasa aspectos de la cuestión de los fundamentos, de la autonomía de las matemáticas, de su naturaleza alienada, de su posible proceso degenerativo, de su supuesto carácter infalible, de las relaciones entre lógica y matemáticas, de la existencia de las teorías dominantes, etc. Busca en las matemáticas los programas de investigación y los procesos de progreso y estancamiento, que para él es la lógica de descubrimiento más apropiada para la reconstrucción racional de su historia. Naturalmente, Lakatos hunde las raíces de la teoría de los programas de investigación en la consideración del alto nivel de autonomía de la ciencia. Y si la aproximación directa de Lakatos a la historia de las matemáticas es destacada, sin embargo la elaboración de su teoría se estructura, quizás debido a la alargada sombra de Popper, en el terreno de la física y es aprovechada para señalar sus diferencias con Kuhn y para no perder comba en su antimarxismo filosóficamente militante.

Para bien o para mal, la aportación de Lakatos, muy probablemente víctima de la autonomía alienante tan defendida por él mismo, en el mundo matemático ha quedado, en cierta medida, reducida al conjunto de las cosas curiosas y divertidas.

Mayor impacto, hay que reconocerlo, han tenido las tesis de Kuhn sobre las revoluciones científicas, quizás porque, como dijo Muguerza en el prólogo a la versión castellana de las Actas del Coloquio Internacional de Filosofía de la Ciencia celebrado en Londres en 1965, estaban haciéndose esperar(33). Revoluciones o rupturas, inspiración anglosajona o francesa, el hecho es que la teoría contemporánea de la ciencia de corte idealista ha tenido que reconocer que también en el supuestamente autónomo universo científico surgen cortes más o menos drásticos, pero que señalan que la versión continuista y de acumulación directa es una forma de caricaturizar la historia e incluso de falsearla(34).

Las ideas de Kuhn no han despertado entusiasmos generalizados en la comunidad matemática, donde la presencia del formalismo es todavía muy acusada. El mismo Kuhn ha esquivado de alguna manera el atender este tipo de banco de pruebas en beneficio de otras parcelas de pensamiento más propicias a un tipo de ejemplificación más contundente. En este sentido la física, la astronomía, la química o la biología resultan mucho más atractivas para buscar sustento a las construcciones filosóficas. Aun así, en las revistas especializadas y en ámbitos de resonancia estructuralista(35) han aparecido en los últimos años algunos intentos textuales de reproducir el esquema básico kuhniano(36) en matemáticas con connotaciones bastante dogmáticas. Y es que es justo reconocer que en sí misma la teoría de las revoluciones científicas resulta sugestiva.

La cimentación de las realizaciones científicas universalmente reconocidas como tales que, durante cierto tiempo, proporciona modelos de problemas y soluciones a una comunidad científica(37) llamada paradigma parece una especie de perogrullada brillante, irrefutable e irrebatible a la luz de ciertas historias de las ciencias. Igualmente significativa es la relación entre los conceptos de paradigma y de comunidad científica, que es quien en definitiva lo articula, lo sostiene, lo desarrolla mediante el ejercicio de la ciencia normal, lo derrumba y lo sustituye por otro. Parece obvio que un paradigma sea entonces el sustrato teórico necesario por el que la comunidad científica en cuestión explica el mundo. E igualmente adecuada parece la forma de liquidación del paradigma: bien por agotamiento de los enigmas planteados, bien porque se produzca alguna incompatibilidad entre un enigma abierto y el propio paradigma. Esa incompatibilidad genera una crisis que desencadena una revolución científica, tras la cual el viejo paradigma es sustituido por otro, porque en las ciencias todas las revoluciones resultan triunfantes más pronto o más tarde.

Al carácter sugestivo y atractivo de la teoría hay que añadirle un dato más que induce a la atención: el hecho de que en su contrastación -a veces confrontada- con alguno de los momentos conflictivos de la historia de las ciencias la teoría haya salido suficientemente airosa. Aunque lamentablemente, en el enunciado original, las matemáticas y su historia brillen por su ausencia.

Los cataclismos teóricos siempre impulsan de forma notable la necesidad de historiar el pasado cuya línea de progresión acumulativa se rompe precisamente por el proceso de ruptura. Eso ocurrió en el periodo de la Revolución Francesa y, con mucho mayor motivo, volvió a suceder en el tiempo de las grandes rupturas temáticas del siglo XIX. La obsesiva reflexión sobre los fundamentos de la matemática y las aguzadas críticas a las elaboraciones clásicas impulsaron la necesidad de trenzar la historia de las matemáticas y explicar el proceso de su desarrollo.

La historia de la ciencia en el siglo XVIII, que al que suscribe le parece encantadora, fue externalista hasta el maniqueísmo, llegando a encubrir en las alabanzas a las ciencias naturales factores de ataque o por lo menos de rechazo o crítica al Antiguo Régimen vigente o extinto(38). En el siglo XIX, lo resbaladizo del terreno teórico exigió dos ingredientes fundamentales en la reconstrucción histórica de la evolución del pensamiento científico: por una parte, el rigor, que fue progresivamente en ascenso en las elaboraciones teóricas, se hubo de incorporar también a los trabajos históricos; por otra, los excesos del periodo revolucionario del XVIII favorecieron grandes dosis de interiorización en las elaboraciones históricas.

Pasados los años, en el terreno de la historia de las matemáticas, tras encomiables esfuerzos como los de Boncompagni con su Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e fisiche (1868-1887) y la continuación de Gino Loria con su Bollettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche (1898-1922)(39), Eneström con su Bibliotheca Mathematica (1887-1914) y otros, la consagración del modo de hacer historia de las matemáticas vino de la autorizada opinión de Moritz Cantor en el Congreso de 1900 celebrado en París, segundo de los internacionales de matemáticos. Opinión que él mismo materializaría en las monumentales Vorlesungen über Geschichte der Mathematik en cuatro volúmenes [Leipzig, 1907-1913].

Moritz Cantor que, en un tiempo en el que los alemanes aún no estaban completamente henchidos de fervor nacionalista y por ende absolutamente histéricos con el tema del idioma, presentó su trabajo en francés y tituló su conferencia Sur l'historiographie des mathématiques(40). En ella partía de una proposición de alguna manera contradictoria con la tesis defendida por Hilbert en el mismo Congreso. Para Cantor las matemáticas habían perdido su unidad para multiplicarse(41). En consonancia con esto, la figura del matemático como tal había desaparecido para alumbrar la de los geómetras, analistas, algebristas, aritmólogos, astrónomos, físicos teóricos e incluso historiógrafos(42). Y explicaba la presencia de esta última categoría con un gesto humilde, reconociendo que del trabajo de los historiadores no podían surgir avances de las matemáticas sino solamente unas buenas Guías de Viaje(43). Para mostrarlo construyó una sucinta relación a través de las historias de las matemáticas desde Eudemo de Rodas hasta los años finales del siglo XIX. El erudito recorrido, a pesar de la asepsia que se pretende aparentar a lo largo de todo el trabajo de Cantor, está salpicado de elementos que permiten comprobar los principios conceptuales que inspiraban las historiografías correctas. Hablando de la conocida obra de Libri sobre L'Histoire des Mathématiques en Italie se cuestiona Cantor(44):

"Peut-on écrire convénablement l'Histoire des Mathématiques dans un pays quel-conque?".

Y se contesta inmediatamente:

"J'en doute fort".

Y lo pone en duda por el carácter internacional de las matemáticas, por la influencia constante de un pueblo sobre otro en el terreno matemático y por el proceso acumulativo del conocimiento matemático.

No obstante, todavía es más explícito Cantor respecto al verdadero sentido de su historiografía. Dice Cantor(45):

"On me dira que, pourtant, tout peuple a eu son temps où il marchait à la tête d'une Science ou de l'autre. C'est parfaitement vrai, mais parce que c'est vrai pour tous les peuples, cela prouve d'autant plus la difficulté d'écrire l'Histoire de cette Science chez un seul peuple, sinon pour l'époque pendant laquelle ce peuple faisait avancer cette Science".

En breves palabras está la versión quintaesenciada del positivismo idealista en materia de historia de las matemáticas y de la ciencia. Porque, so pretexto de internacionalizar y generalizar el campo de visión, lo que hace Cantor es internalizar el análisis hasta tales extremos que las matemáticas aparecen como una creación extraespacial y, por así decir, extrasensorial. En efecto, la visión de la historia de las matemáticas ratificada por Cantor y seguida, todo hay que decirlo, con un cierto entusiasmo por ciertas comunidades matemáticas a lo largo de todo lo que se lleva del siglo XX, separa las creaciones matemáticas de cualquier tipo de enlace con factores sociales e incluso intelectuales, extramatemáticos.

La propia historiografía se encargó de poner en tela de juicio los valores defendidos por Cantor y las comunidades matemáticas nacionales se lanzaron a buscar y a analizar sus propias raíces científicas en el terreno de las matemáticas(46).

Factor de importancia singular fue la obra de George Sarton en Estados Unidos, con su revista trimestral Isis y la tendencia al asociacionismo de los historiadores de la ciencia. Durante casi medio siglo el nombre de Sarton se identificó en el mundo occidental con el de la historia de la ciencia y, de alguna manera, la ciencia -en un sentido global- fue contemplada e historiada a partir de las ideas desarrolladas en las dinámicas universidades norteamericanas del primer tercio del siglo XX.

Sin embargo, el cambio de orientación más consolidado se produjo en el Congreso de Londres de 1931 y, como se ha reconocido en todas las partes no contaminadas por los bienpagados de cualquier tipo de alianza para el progreso, fue debido a la aportación de los historiadores soviéticos(47).

La Revolución de Octubre cambió el signo de la consideración de la ciencia en las jóvenes repúblicas soviéticas, desde donde se irradiaría al resto del mundo. Sobre una base progresivamente nutrida de científicos en general y de matemáticos en particular, se comenzó a reflexionar sobre la ciencia de un modo diferente.

Aunque la institucionalización de la historia y de la filosofía de la ciencia no fue inmediata, ya desde el año 1925 funcionó en Moscú un Seminario conducido por S.A. Ianovskaia y constituido fundamentalmente por estudiantes de física y matemáticas. En la década de los años 30 se institucionalizaron los cursos de historia de las matemáticas en la Facultad de Física y Matemáticas. Los animadores de este incipiente movimiento fueron, además de la ya citada Ianovskaia, el matemático Vygodski y el físico Guessen(48).

Cuando se reunió en Londres el II Congreso Internacional de Historia de las Ciencias, Guessen, director del Instituto de Física de Moscú y miembro del Senado (Consejo Académico) del Instituto de Historia de la Ciencia y de la Tecnología de la Academia de Ciencias de la URSS(49), cuyo director era Bujarin, presentó un trabajo sobre Las raíces socioeconómicas de la Mecánica de Newton(50) que tuvo una gran resonancia cuando se publicó, junto con otros trabajos de similar inspiración, bajo el título de Science at the Crossroad(51). La aparición de una orientación consistente desde el punto de vista científico y con una metodología marxista cambió radicalmente el sesgo tradicional de las investigaciones en historia de las ciencias, que superaron la meritoria tendencia histórico-cultural de Sarton. En la misma década de los 30 aparecieron varios trabajos de prestigiosos científicos que cambiaron el rumbo de sus preocupaciones concretas por las reflexiones sobre la ciencia y su historia en un sentido global.

En Gran Bretaña, particularmente, cuajó una verdadera escuela de historiadores, filósofos y sociólogos de la ciencia de formación marxista que han tenido una gran influencia posterior. Bernal, Hogben, Haldane, Merton son algunos de los científicos occidentales que comenzaron a trabajar sobre la idea del carácter social de la ciencia. A partir de entonces se hizo patente la división de las escuelas historiográficas en externalistas e internalistas. En puridad esta clasificación fue una reacción un poco exasperada de los neopositivistas de todo corte y condición contra la penetración de la nueva metodología en un área -la de la historia de las ciencias- que hasta entonces había sido coto cerrado de las escuelas de definición idealista. Se quiso aducir con la división el hecho de que el externalismo comportara la utilización de caracteres ajenos al hecho científico stricto sensu. Sin embargo, aunque la defensa desde las posiciones académicas mayoritarias de la inteligencia establecida fue bastante dura, la influencia en todos los países de Occidente fue muy notable. En particular por lo que hace a las obras de Bernal(52).

Hoy, en la lectura del trabajo de Guessen, como la de otros historiadores soviéticos de ese periodo, aparecen sesgos de linealidad algo tosca, siempre presente por otra parte en las producciones inaugurales de cualquier novedad teórica. Se trata obviamente de la irrupción en escena del externalismo como corriente. Pero estas insuficiencias no empañan, medio siglo después, el hito representado por los historiadores de la ciencia del joven estado soviético.

Como reacción, precisamente, al desarrollo de esta perspectiva, apareció con una fuerza innegable otra corriente apoyada también en un ejemplo trascendente del siglo XVII y de inspiración rotundamente idealista. El mismo año 39 entraban en incruenta batalla el libro de Bernal, La función social de la ciencia, y, de otro lado, los Estudios Galileanos de Koyré.

La calidad de los trabajos de Koyré significó un fuerte contrapeso a la corriente materialista y un enriquecimiento global notable de la historia de las ciencias. Es obvio que los planteamientos internalistas que surgieron a partir de la escuela historiográfica francesa, muy pronto extendidos de la mano de los neopositivistas anglosajones, ya no pudieron pasar por alto la influencia de los factores externos, aunque sí que rechazaran las implicaciones sobre el universo conceptual de la ciencia, que fue colocado en un dominio ideológico más y más autónomo.

La pugna científica, dígase lo que se diga, permanece en total vigencia y vigor y de alguna manera ha servido para eliminar construcciones teóricas sin matices y sin fisuras que, por muy comprensibles que fueran, no han dejado de ser muy toscas e incluso falsas.

Por eso el problema sigue siendo el de averiguar si existen leyes generales que expliquen el desarrollo de la ciencia. Cuestión general aplicable a todas y cada una de las ciencias y, por lo que hace a este trabajo, al área de las matemáticas.

3. Planteamiento general del problema

3.1. El problema de las definiciones

Es difícil establecer un criterio fijo e inmutable que permita definir el concepto de ciencia en nuestro tiempo. A lo más que en estos momentos se aspira es al establecimiento de un proceso en el que se recojan los elementos conceptuales y experimentales que, en conjunto, aporten una aproximación suficientemente buena que vaya permitiendo acoger a la constantemente creciente cantidad de disciplinas candidatas a refugiarse bajo el certificado de denominación de origen científica.

La década de los noventa del siglo XX asiste con cierta perplejidad al desarrollo de un proceso iniciado en los setenta, en los que se señaló que estábamos atravesando el umbral de una Revolución Científico-Técnica cuyas consecuencias, se decía, trascenderían los marcos habituales de existencia del pensamiento y hecho científicos. A tal situación se llegaba en función de una extrapolación natural del gran desarrollo cuantitativo que las ciencias habían tenido a lo largo de los siglo XIX y XX. Así, la hipótesis de la Revolución Científico-Técnica aparecía como razonable y se afirmaba en la indudable influencia que las ideas científicas tenían en la estructura social del mundo desarrollado, llegando a comparar el papel de la ciencia en nuestro tiempo al del dinero en el proceso de descomposición del mundo feudal.

Tras tales planteamientos se argumentaba la aparición del umbral de un nuevo estadio evolutivo en el que las sociedades desarrolladas no podían prescindir de la ciencia, cuyo desarrollo, por otra parte, podía entrar en contradicción grave con estructuras sociales basadas en la propiedad privada de los medios de producción y no necesariamente por el catastrofismo de su extinción. No es éste el tema de este trabajo, aunque justo es reconocer que de aquellas impresiones a las actuales hay más de un paso. De aquella Revolución Científico-Técnica, cuyo bienestar parecía que podía ser tocado con las yemas de los dedos por la inmensa mayoría de los terrícolas, hemos pasado a una situación bien distinta, con esa inmensa mayoría de habitantes del planeta sumidos en la pobreza, cuando no en la miseria, sujetados por el poder de unas armas -estas sí cada vez más científicas- que garantizan ese bienestar para una parte un poco más reducida de los ciudadanos y ciudadanas del primer mundo, que sí que vivimos mejor gracias a la ciencia y que podemos trabajar en mejores condiciones gracias a las nuevas tecnologías. Además, el aparato científico de los entonces países socialistas europeos, que daba sentido a la intuición de la nueva era, está destruido, la Unión Soviética no existe y Rusia tiene, en 1994, como cabeza visible a un borracho corrupto. ¡Vaya panorama!

Mas, a pesar de todo, el espectacular desarrollo de los resultados científicos en la época contemporánea ha desarrollado enormemente la necesidad de reflexión y de creación teórica en torno a la ciencia. Se ha creado la disciplina de la Ciencia de la Ciencia como útil herramienta indispensable en nuestros días para comprender el alcance de un fenómeno que, fuera para bien sea para mal, está desbordando todas las previsiones.

Si hubiera que destacar una característica fundamental que justificase el interés interno de la metodología global en la aproximación a la ciencia habría que pensar que, así como los procesos analíticos que permiten profundizar en lo particular dificultan la comprensión de los objetivos a medio y largo plazo, la vía de la síntesis, al abstraer los detalles parciales, permite acometer con mayores garantías de éxito la investigación de elementos de predicción -y la predicción es una de las razones de ser de la ciencia y del trabajo de los científicos que ha quedado como más evidente herencia del viejo positivismo comptiano-. La posibilidad de predicción plausible justifica por sí misma la atención que los enfoques de síntesis tienen en las elaboraciones científicas desde hace siglo y medio. Aunque quienes, como yo, llevamos encima determinadas teorías y pensamientos no tenemos muchos motivos para enorgullecernos de la finura de nuestra capacidad de predicción y debemos tender a ser prudentes, ello no obsta para que la función profética sea una vieja aspiración humana y, en tanto que tal, perseguible. De todas formas, muchos otros -de indudable y superior talento- lo han hecho antes. ¿Cómo podrían olvidarse por ejemplo las Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert del mismísimo Klein?

Hay un elemento más que propicia e incita al seguimiento de la aproximación global al hecho científico: la especialización. Los programas de investigación actuales, circunscritos al ámbito de las pequeñas unidades de trabajo, o sea de las comunidades científicas usuales, reducen el campo de estudio y conocimiento a microcosmos aparentemente irrelevantes y, de hecho, claramente desconectados del mundo exterior en múltiples campos de las ciencias básicas. Esta tendencia de especialización vertiginosa, que se ha agudizado a lo largo del siglo XX, aparece en etapas tempranas del aprendizaje, primero en un área global (matemáticas, física, etc.) sobre la que, en intervalos de tiempo cada vez más breves, se establecen los dominios sucesivos de especialización hacia el problema abierto que se está en condiciones de abordar. Esto cuando se continúa la carrera el tiempo suficiente como para abordar problemáticas nuevas. En la mayoría de los casos, los procesos de formación se cortan abruptamente sin haber dado tiempo a consolidar ni los marcos disciplinares globales ni el enunciado de problemas abiertos suficientemente sugestivos.

Las comunidades científicas más conscientes y responsables han tenido que contrapesar la necesidad de formación investigadora especializada con aportaciones de carácter general, esto es, con enfoques de síntesis de cada una de las ciencias o de la ciencia como tal, que se han situado en la periferia de las correspondientes disciplinas, bajo epígrafes comprensibles que son los que definen el trabajo de los historiadores y filósofos de la ciencia.

No podía ser de otra manera. Historiar o predecir son extrapolaciones de los hechos que nos es dado conocer y vivir personalmente. Lo más interesante sería conocer el futuro con cierta seguridad para modificar adecuadamente las condiciones del presente y para ello hay que aspirar al conocimiento lo más conforme a la verdad que sea posible del presente y del pasado. Como investigar esos extremos es hacer historia de ..., para aumentar el nivel de certeza en la predicción de los estados futuros de la ciencia en general y de cada una de sus componentes se impone la necesidad de abordar rigurosamente la verdadera evolución del desarrollo de estos elementos conceptuales. Dicho de otra manera más directa, a la luz de la realidad del presente y de la mayoría del legado documental -e incluso testifical donde tal elemento es posible- se me antoja que las historias de las ciencias hasta ahora escritas son, todavía en forma significativa, hermosos volúmenes de no menos bellas fantasías, ya que sin afirmar -que no lo afirmo- que sean falsedades, lo que en las historias de las ciencias da en contarse, en su inmensa mayoría, responde a cierta entronización del individualismo superdotado, un tanto alejado, ciertamente, de la realidad palpable en la que los científicos se mueven.

En la ciencia se ha producido en la época contemporánea un cambio trascendental que responde a las transformaciones intrínsecas del organismo científico: el cambio de protagonista. Y ese cambio exige su reflejo en la reconstrucción de su acontecer. Las historias clásicas de las ciencias son relatos de anecdotarios, exposiciones cronológicas, jalonadas por los descubrimientos geniales de determinados individuos. Las historias clásicas responden a una estructura básica acumulativa en la que determinados individuos -los científicos- apoyándose en los descubrimientos de los que les han precedido de forma más o menos inmediata, resuelven nuevos problemas. El gran protagonista, siempre individual, es el genio singular que realiza tal hazaña.

Las estructuras unipersonales son, a cambio de muy sencillas y comprensibles, muy groseras. Muy difícilmente admiten la matización. Los problemas de coincidencia en la prioridad -irrelevantes enigmas que han ocupado tremendamente la atención de los historiadores por la cuestión de la adscripción de la gloria exclusiva- se han solucionado con el adverbio independientemente, sin más complicaciones, sobre todo cuando la nación a la que pertenecía el supuesto perdedor aumentaba su peso político en el concierto mundial. La escasa finura de la argumentación clásica no ha sido específica de la historia de las ciencias. Esta era más bien una herencia de una escuela historiográfica en la que la historia de la Humanidad podía explicarse con nombres propios de personas o acontecimientos.

La teoría de la historia clásica era humana, pero falsa. Los historiadores han tenido que reescribir la historia de los pueblos en función de variables más objetivas: los protagonistas colectivos. Y con ellos tejer un proceso evolutivo en el que se estableciesen los cambios a nivel infraestructural, superestructural, ideológico y de sus mutuas interrelaciones e influencias. Quizás se ha perdido algo en rotundidad y claridad simplista, pero se ha ganado en objetividad y en veracidad.

En las historias de las ciencias, en donde la metodología clásica no ha hecho sino entrar en crisis, está comenzando a ocurrir lo mismo. Se está produciendo un profundo cambio no sólo en el tipo de preguntas que se formulan los historiadores de las ciencias, sino también en la explicación de los propios hitos científicos. En este sentido, la analogía de los grandes colectivos sociales son las comunidades científicas.

3.2. Comunidades científicas: individuos y colectivos

El poderoso desarrollo de la ciencia y la tecnología en nuestros días presenta resistencias a la admisión de la evidencia en los cambios en la organización del trabajo. Toda la parafernalia de premios, distinciones y entidades de más o menos alto copete científico de las que se nutre la pompa y la circunstancia de la ciencia desde hace tres siglos se confronta con la realidad cotidiana de los departamentos, institutos, facultades, escuelas y todo tipo de centros donde se despliega la actividad científica de la inmensa mayoría de trabajadores anónimos. En las revistas científicas del corazón aparecen los gigantes vivos del estudio cuantitativo de la naturaleza y se esconden los gregarios que en más de una ocasión se ven privados del protagonismo que merecerían.

"Pour se reposer et se remonter un peu la moral, je connais un patron jeune, dynamique, qui fait lui-même ses expériences en préparant lui-même son matériel, qui fait une recherche bibliographique intelligente, qui s'intéresse a la progression de ses chercheurs. Ce doit être pathologique (...) D'ailleurs tous ses collègues s'emploient à le soigner: quand guérira-t-il?(53)

Esta irónica cita de la antología de Lévy-Leblond y Jaubert sobre la (Auto) critique de la science sirve de adecuado fundamento para abordar el problema de la organización del trabajo.

La ciencia francesa, entre los muchos elementos con que ha nutrido a la comunidad científica, tanto a nivel puramente intelectual como de organización, ha deslizado una figura que ha devenido caduca y objetivamente resulta retardataria para el desarrollo de la ciencia: el patrón. Aunque la existencia de un director unipersonal e incontestable tiene raíces, justificación y sentido históricos, los fenómenos acumulativo-restrictivos ya comentados convierten la actual estructura organizativa en algo obsoleto. En efecto, históricamente, tanto en Francia como en otros países científicamente adelantados, la autoridad de una larga lista de científicos y el abismo cultural existente entre los diferentes sectores de cualquier país en un amplio periodo de la época contemporánea que casi alcanza nuestros días ha dignificado enormemente y destacado del conjunto a las cabezas más dotadas para la dirección y crítica de la investigación. Por otra parte, la necesidad de acabar con los excesos fraudulentos de cualquier antiguo régimen, de estabilizar la situación laboral y de dar el empaque preciso a esa nueva capa social propiciaron en el siglo XIX un sistema de estructuración de la comunidad científica fuertemente jerarquizado, proteccionista, cerrado y acrítico. Los controles establecidos, tanto a nivel gubernamental como privado, y el código interno de cada unidad de investigación dificultan en todos los países la ruptura de las normas de conducta heredadas que ya no tienen ninguna justificación práctica actual. Al margen de consideraciones diversas que se podrían adelantar y de vicios del sistema expuestos en varias publicaciones científicas que comenzaron a aparecer hace dos décadas(54) se puede señalar la creciente dificultad de que existan científicos que dominen (pues se trata de dirigir, que es orientar y criticar la labor investigadora de un equipo) simultáneamente varias líneas de investigación, aunque sean de un área restringida pero general. El progresivo e imparable progreso de especialización y la ausencia de alternativas válidas al problema -a pesar de los muchos intentos y de la permanente polémica- conducen directamente a la necesidad obvia de la renovación de la estructura, que desde cualquier planteamiento metodológico de trabajo llega al mismo concepto organizativo para las unidades básicas: el equipo. Es algo que tenía que llegar, habida cuenta del camino de estricta especialización. Hoy el protagonista individual de la ciencia tiene que ser el científico colectivo, que de hecho es -salvadas las distancias- una restricción al terreno científico del intelectual-orgánico-colectivo definido por Gramsci(55). En verdad, la idea del equipo de trabajo, hoy por nadie combatida explícitamente, necesita además una puesta en práctica presidida por un profundo sentido democratizador que colectivice la dirección y la crítica de las unidades de producción científica a todos los niveles y que someta a debate periódico y abierto los resultados que se van obteniendo(56). Hay un elemento particularmente claro en la crisis de las estructuras científicas más tradicionales y que cada día se hace más patente. Así como en las llamadas disciplinas humanísticas (insólita definición que los científicos aceptamos sin pestañear como si nuestras actividades no lo fueran(57)) el trabajo cotidiano a lo largo de los años produce inexcusablemente un aumento de la capacidad orientadora por un mero proceso de acumulación, en el campo de la ciencia la fijación del hombre con el medio -el laboratorio principalmente-, la inexcusable dureza intrínseca del trabajo y también los acicates de la necesidad y la ilusión producen un trastocamiento de las posiciones de vanguardia en el frente investigador a nivel mundial; con lo que no necesariamente los que llevan más años son los que más al corriente están de los problemas públicos cruciales en una determinada área (haciendo abstracción consciente del contenido). Es más, normalmente, el proceso acumulativo de conocimientos comporta la adscripción a una determinada línea y a un marco preciso de referencia, línea y marco que con el concurso implacable del tiempo quedarán obsoletos a no ser que se produzcan los siguientes supuestos: i) que la línea sea fundamental y se justifique por sí misma, en cuyo caso los enigmas siguen siendo relevantes; ii) que el investigador sea lo suficientemente arrojado como para cambiar su línea cuando observe -o le hagan observar- que los resultados obtenidos no compensan ni el esfuerzo realizado, ni el dinero invertido; y iii) que el investigador sea lo suficientemente curioso y capaz para comenzar periódicamente con un problema nuevo.

Pero estos tres supuestos, que efectivamente se pueden ejemplificar históricamente en la ciencia, difícilmente se dan en el ejercicio de la ciencia normal mientras se cuente con una estructura de trabajo jerarquizada, conservadora y fijista.

La forma menos traumática de superar esta contradicción es, precisamente, junto al respeto inveterado a la libertad de investigación (respeto que en absoluto debe excluir la necesidad y la libertad de crítica), la urgente organización colectiva del trabajo en el seno de programas claros de investigación, con actuación transparente y generosidad informativa. En definitiva, una casilla del paradigma debe consistir en la sustitución de la competencia desleal y el carrerismo por la cooperación entre los trabajadores científicos y el juego limpio.

Kuhn, en su postdata de 1969 al texto original de la Estructura de las Revoluciones Científicas, se vio obligado a precisar de una forma objetiva el término comunidad científica como elemento fundamental sobre el que poder sustentar su modelo. Para Kuhn(58),

"una comunidad científica está formada por practicantes de una especialidad científica. Han pasado por una iniciación profesional y una educación similar en un grado que no tiene comparación con otros campos. En este proceso han absorbido la misma literatura técnica y desentrañado muchas de sus mismas lecciones".

El concepto, muy intuitivo, es fácilmente generalizable. Por eso se puede enseguida entender lo que se quiere expresar con el término comunidad de la disciplina X en el ámbito geográfico Y en el momento cronológico T y, por variación de las variables, encontrar inmediatamente los tipos posibles de comunidad. Este aspecto no representa un cambio interpretativo vulgar, ya que subvierte en cierta manera los objetivos prioritarios de las historias clásicas de las ciencias. Con este concepto, no sólo el supuesto genio merece ser estudiado como objeto histórico, ya que ese supuesto genio pertenecerá a una o varias comunidades científicas, que además no serán ajenas, ni mucho menos, a sus realizaciones. Tampoco en esta consideración reina la unanimidad. Personalidades de tanto peso en la matemática del siglo XX como Jean Dieudonné -al que voy a hacerle el favor una vez más de criticarlo como historiador de la ciencia- han señalado muchas trabas teóricas a la definición de comunidad matemática(59) homologable a la que pueda darse en otras disciplinas científicas. Para Dieudonné el trabajo en equipo es bastante raro en matemáticas, reduciendo su idea de comunidad, en la práctica, a la correspondencia cruzada entre profesionales. Esta reducción, válida para situaciones anteriores a la institucionalización científica del XVII, es claramente insuficiente para explicar las situaciones que se dan desde el momento en el que hay academias, escuelas y revistas.

Siguiendo con los presupuestos analógicos entre la historia general y las historias de las ciencias se presenta otro evidente paralelismo entre el modo de producción de bienes materiales y el modo de producción de bienes científicos.

La evidente transformación de los modos de producción científica a lo largo de la historia de la Humanidad lleva directamente a cuestionarse la existencia de unos marcos generales en los que se han desenvuelto las actividades normales o geniales de los científicos. Y respecto a esto el modelo de Kuhn suministra un sustrato terminológico atractivo y quizás suficiente para mejorar la explicación de la historia de las ciencias.

Ya se han comentado antes algunos de los aspectos generales más interesantes de los planteamientos kuhnianos. Por lo que hace a este trabajo debe quedar claro que se recoge una generalización del concepto de paradigma, entendiéndolo como modo de producción científica. Aunque la aplicación concreta de este modelo al campo de las matemáticas se pormenoriza en el parágrafo siguiente, sí es conveniente insistir en un aspecto sobre la pervivencia de los paradigmas(60).

Lakatos ha criticado(61) la traducción mecánica de los postulados marxianos a la periodización de las ciencias, sobre todo en lo que respecta a la adscripción de un determinado tipo de ciencia -y de criterios de elaboración científica- a cada modo de producción. Ya se ha aducido este aspecto al comentar la disyuntiva internalismo-externalismo. Sin embargo, sí que es detectable de forma bastante nítida el mantenimiento y las subsiguientes rupturas de las concepciones básicas mediante las que las diferentes comunidades científicas explican el mundo.

La pregunta que más comúnmente surge entre los científicos es, ante esto, cuestionarse dónde queda el genio. La salida más corriente a esta pregunta se basa en la consideración de que cada realización genial produce una quiebra teórica de suficiente importancia. Así se puede argumentar que cada genio tiene detrás su escuela de pensamiento científico que, de una manera autónoma, elabora un tipo de ciencia diferenciada. Otro de los sesgos que produce el posicionamiento del genio en la historia es el de la generalización gratuita. Si un determinado científico ha producido en alguna disciplina científica concreta una ruptura de pensamiento, se extrapola automáticamente a todas las ciencias en las que haya podido trabajar. Así se han escrito algunas historias de las ciencias en las que con la pretensión -mucha veces tácita- de primar la individualidad de la creación científica sobre cualquier otra variable, se ha distorsionado la reconstrucción histórica y se ha falseado la interpretación de los procesos de creación científica. Porque una elaboración genial no tiene por qué suponer una forma distinta de concebir la ciencia, como tampoco una creación rupturista en un campo científico tiene porqué suponerse para todos.

Una idea de Popper puede explicar bastante satisfactoriamente la relación entre el movimiento general de la ciencia y la aportación individual de los científicos. Hablando sobre nubes y relojes, señala(62):

"Como ejemplo típico e interesante de nube recurriré a una nube o enjambre de moscas o mosquitos. Los mosquitos individuales que, como las moléculas de un gas, forman todos juntos un enjambre se mueven de un modo asombrosamente irregular. Es casi imposible seguir el vuelo de un mosquito particular, aunque todos ellos sean lo suficientemente grandes como para ser visibles con claridad (...) el que se mantengan juntos puede explicarse fácilmente suponiendo que aunque tengan un vuelo irregular en todas direcciones, aquellos que sienten que se alejan de la muchedumbre tornan hacia su parte más densa".

"Esta suposición explica de qué modo se mantiene unido el grupo aunque no tenga ni jefe ni estructura -no hay más que una distribución estadística aleatoria que surge del hecho de que cada mosquito hace exactamente lo que quiere de un modo anárquico y aleatorio unido al hecho de que no quiere separarse demasiado de sus compañeros".

Quizás en esta idea de Popper se halle una de las más agudas interpretaciones sobre el papel de las escuelas en términos generales a lo largo de toda la historia de la ciencia y es particularmente ilustrativa por lo que respecta a la historia de las matemáticas, en la que el movimiento científico de los grandes creadores es aparentemente muy anárquico.

Volviendo al planteamiento general del problema hay que destacar que los trabajos globales de matemáticas nunca han sido extraños a su propia definición. En el periodo clásico griego hubo aproximaciones sintéticas de tipo externo desde el terreno de las especulaciones filosóficas, y los mismos Elementos de Euclides pueden considerarse como una construcción de síntesis desde una perspectiva interna. En los últimos siglos y de manera mucho más frecuente la comunidad matemática internacional o alguno de sus miembros más destacados acometía la empresa de poner en orden el cúmulo de resultados obtenidos, porque esas puestas en orden siempre han seguido a un periodo más o menos amplio en el que se han resuelto un número elevado de enigmas importantes.

Además de las elaboraciones de síntesis interna, la comunidad matemática internacional ha mantenido siempre los enfoques de síntesis objetiva desde dominios de la historia o de la filosofía. Esta tendencia, mucho más acusada desde que se profundizó el proceso de institucionalización de las relaciones internacionales entre los matemáticos, procede del legítimo privilegio del decanato científico. Mas, no obstante estas consideraciones, que debían haber inclinado a los teóricos de la ciencia a probar de forma inapelable sus especulaciones, ninguna de las lógicas del descubrimiento -por volver a utilizar la nomenclatura de Popper- más firmemente instaladas ha elegido la matemática como banco de pruebas.

La posibilidad de localizar en la historia de las ciencias naturales o experimentales hechos cruciales, que señalen una línea de demarcación suficientemente nítida entre dos etapas diferenciadas de la historia, las hace más aptas para el análisis. Ese sentido y lo sugerente del término ha contribuido a la aceptación de la expresión revoluciones científicas y ha permitido esa denominación por la claridad explicativa a la hora de analizar algunas transformaciones históricas que se han producido en el seno de estas ciencias. Pero en matemáticas los procesos, además de no ser drásticos, suelen respetar los procesos acumulativos, produciendo lo que Bell ha llamado los restos de épocas. Además, las matemáticas, desde hace trescientos años, parecen desenvolverse en una situación de cierta inseguridad, con crisis sucesivas entre las que la cuestión suscitada en torno a los fundamentos de la geometría no fue más que un episodio. Cuando las tesis de Kuhn tomaron cierto cuerpo en la opinión pública científica enseguida se articuló un abanico de respuestas internas a la sugestiva idea de las revoluciones científicas tanto desde el punto de vista externalista como desde el internalista. Para muchos izquierdistas epistemológicos externalistas la nomenclatura de Kuhn era un oportuno pretexto para hablar de revoluciones sin tener que recurrir a los indeseados ejemplos marxistas conducentes a escenarios del socialismo real, para los derechistas epistemológicos externalistas Kuhn ofrecía la posibilidad de utilizar la palabra revolución, tabú en su lenguaje cotidiano relativo a cuestiones políticas o sociales. Además Kuhn aparecía, como tantos miembros de la comunidad científica, como un ser ideológicamente asexuado y por lo tanto nada comprometido y comprometedor en humanas contingencias. Esto permitió que se vertieran ríos de tinta explicativos de situaciones de cambio revolucionario en determinadas ciencias como la física, la astronomía y la biología. Para las matemáticas el asunto era otro, como ya he apuntado antes, y durante dos décadas los matemáticos que se atrevieron a introducirse en estos piélagos intelectuales se cuidaron mucho a la hora de establecer esquemas reproductores de cambios revolucionarios radicales en la historia de la disciplina. A lo más que se arrojaron fue a considerar determinados hitos cruciales en determinados aspectos de determinadas parcelas de la expresividad matemática(63).

Las cuestiones a dilucidar son, por tanto, las siguientes:

¿Es consistente hablar de la existencia de paradigmas matemáticos?

¿Qué características debe comportar una paradigma matemático?

¿Cuándo se puede suponer que un paradigma ha sido sustituido por otro?

Resueltas esas cuestiones, habrá que plantearse:

¿Qué paradigmas fundamentales han existido en la historia de las matemáticas?

¿Cuáles son sus rasgos esenciales?

3.3. Paradigmas matemáticos

Hoy, salvo algún popperiano recalcitrante, apenas si quedan matemáticos profesionales que se atrevan a negar sin rubor el contenido historicista del conocimiento matemático. Tampoco se puede disimular el nivel de autonomía del pensamiento matemático. Pero, pese a esta autonomía, ello no obsta para que ningún profesional pueda esconder las implicaciones ideológicas y sociales del pensamiento matemático. ¿Qué tipo de condicionantes fijos habrá que exigir a las realizaciones científicas universalmente reconocidas que, durante cierto tiempo, proporcionan modelos de problemas y soluciones a una comunidad matemática para ser considerados paradigmas? Desde luego, deberán verificar las dos condiciones exigidas por Kuhn para la categorización de un paradigma: ser matriz disciplinar y matriz ejemplar. Dicho en palabras del mismo Kuhn(64), un paradigma debe ser, por una parte,

"la completa constelación de creencias, valores, técnicas (...) compartidos por los miembros de una comunidad dada"

y, por otra,

"una especie de elemento (...) que empleado como modelo (...) puede reemplazar a reglas explícitas como base para la solución de los enigmas restantes de la ciencia normal".

Hay alguna matización que hacer a esta definición. El justo énfasis de Kuhn en el término comunidad científica, al que antes se ha hecho alusión, se generaliza suficientemente en cuanto al conjunto de creencias de la comunidad matemática internacional. Sin embargo, es obvia la existencia de comunidades matemáticas diferenciadas dentro de esa misma comunidad matemática internacional, que se distinguen no sólo por el área de trabajo en el que inscriben los enigmas de su preferencia, sino fundamentalmente por la finalidad con la que elaboran la matemática. Ello no obstante, y a pesar de la coexistencia de paradigmas en distintos momentos de la historia en el terreno de las matemáticas, hay una tendencia clara a seguir el paradigma sostenido por la comunidad matemática más desarrollada, sujeto colectivo inexcusable para la definición de modernidad. Este aspecto permite atender el problema de la definición de los paradigmas matemáticos desde una perspectiva universal, lo cual simplifica los términos del problema a los efectos de clasificación de la historia de las matemáticas.

Un paradigma matemático es el conjunto de caracteres internos, externos y de finalidad que fundamentan, explican y seleccionan los enigmas matemáticos en un momento dado de la historia de la Humanidad. Por caracteres internos se entienden los aspectos conceptuales, instrumentales y metodológicos de las elaboraciones matemáticas. Caracteres externos son aquellos rasgos que caracterizan la transmisión de ideas matemáticas, así como los rasgos sociales más señalados de los hombres y mujeres que las cultivan. Los caracteres de finalidad definen, por último, como el propio término explica, los enigmas más notables que los matemáticos pretenden resolver con el ejercicio de su ciencia, y que normalmente trascienden el ámbito estructural de expresión de las propias matemáticas.

No aspiro a presentar una definición unívoca. De la misma manera que en las propias matemáticas un ente puede ser abordado y, por lo tanto, definido desde múltiples perspectivas, todas válidas, también la idea que yo estoy pretendiendo presentar y desmenuzar aquí admite su respectiva gama de definiciones. No es lejana esta aproximación de la tríada de Grattan-Guinness cuando presenta las matemáticas como un conglomerado de forms, reasonings and structures(65). No sólo eso. Sería vana pretensión, además, buscar un paradigma puro y aislado en la historia de las matemáticas. La situación de la ciencia en el seno de la sociedad ha producido contaminaciones más o menos visibles en el pensamiento matemático de todas las épocas. De la definición anterior se desprende que la variación sustancial de alguno de los caracteres específicos de un paradigma producirá primero un proceso de ruptura que se resolverá mediante la implantación de un nuevo paradigma. Teóricamente también se puede producir la liquidación histórica del paradigma por agotamiento de los enigmas abiertos planteables y de resolución factible pero, hasta ahora, en la historia de las matemáticas, antes de que haya podido darse esta eventualidad, se ha producido una brecha en el paradigma establecido. Retomando la analogía metodológica anterior, los paradigmas matemáticos universales juegan el papel de modos de producción matemática.

Acabo de aludir a los procesos de extinción de los paradigmas matemáticos. Pero es preciso señalar algunos elementos de reflexión sobre el proceso de ruptura de los paradigmas, antecedentes inevitables de las situaciones de sustitución. En las ciencias experimentales la existencia de experimentos cruciales determina satisfactoriamente la plausibilidad de los cambios de rumbo en el proceso de investigación. En matemáticas también se presentan, en ocasiones, opciones que ponen en entredicho la consistencia teórica del paradigma. La adopción de estas opciones abre campos de posibilidades de investigación muy atractivos por la cantidad de problemas abiertos que presentan, pero ante los que la comunidad matemática en general no adopta una actitud de explícito y generalizado entusiasmo. Quiere subrayarse con esto que, así como en las ciencias experimentales los experimentos rupturistas -una vez comprobada la validez de sus determinaciones- pasan a formar parte insoslayable del proceso de aproximación a la verdad e incluso pueden ser testigos del nivel de modernidad de una comunidad científica, las opciones rupturistas en matemáticas no tienen en general el carácter de cruciales desde un primer momento, y solamente tras un dilatado proceso de disección y perfeccionamiento teóricos pasan a formar parte de un paradigma universal. Otro rasgo genuino y acusado en las construcciones matemáticas, producto de su coherencia histórica interna, es la aparición paulatina de situaciones diferenciadas en las que no ha intervenido ningún tipo de quiebra teórica, sino, a lo sumo, una nueva línea de enigmas, elaborada sobre la base conceptual del paradigma anterior. En este hecho reside una de las más notorias dificultades para la distinción de paradigmas en determinados momentos de la historia de las matemáticas, en los que se confunden rupturas y afirmaciones, de tal modo que, cuando el nuevo paradigma se ha consolidado, se presume ya el comienzo de su ruptura. Este carácter universal y autónomo de las construcciones matemáticas explica que los grandes cataclismos científicos que han trastornado profundamente la actividad de astrónomos o físicos, apenas hayan afectado la evolución específica de las matemáticas.

Definido el instrumental teórico para la clasificación de las parcelas suministradas por la historia de las matemáticas, corresponde señalar qué paradigmas universales han existido. Mas previamente quizás sea conveniente volver a insistir sobre la existencia del tronco común de las matemáticas. Grattan-Guinness también se ha planteado, a su sabia manera, la pregunta del todo y sus partes(66), aunque su mirada se dirija a la realidad cronológica longitudinal y no a los cortes transversales que yo pretendo realizar en el presente trabajo. Así, él señala:

"It is clear that mathematics I intend to refer to all of the subject, both ancient and modern, and also the modes of reasoning wich attend it. Thus I try to bridge the following lamentable gap".

Aunque yo no me atrevería a calificar las grietas de lamentables, es interesante constatar la percepción de Grattan-Guinness de que para él, por lo menos, existe una entre la antigüedad y la modernidad. Dicho de otra manera, tras toda esta larga reflexión quizás haya llegado el momento de responder a la primera pregunta que formulaba al comienzo del trabajo: ¿Qué hay de común en el trabajo de las personas que se tienen por profesionales de las matemáticas? ¿Sobre qué criterios uniformizamos la actividad profesional del escriba Ahmes, de un sofista heleno, de un calculista público del Renacimiento o de un técnico informático de un laboratorio aeroespacial de nuestros días? ¿Qué permite a un matemático profesional que sabe de la materia X entender como asunto cercano y perteneciente a su misma área de conocimiento el de otro profesional, al que considera su colega, especialista en la materia Z y de cuyos trabajos no comprende ni los enunciados? No quiera verse en esto el menor asomo de crítica irónica, porque no es más que una constatación de lo que es la vida cotidiana de esta disciplina desde hace ya bastantes décadas. Hoy, y ya es así -insisto- desde hace bastante tiempo, la extensión de las matemáticas es tan enorme que cada individuo se maneja en un campo, el suyo y de unos cuantos colegas, que es el que domina y en el que no debe descuidarse lo más mínimo para no perder el tren de la información. Del resto de lo que filosófica o administrativamente conoce como matemáticas recuerda con una cierta seguridad las materias correspondientes al primer ciclo de la licenciatura ¡aunque hay cosas que se olvidan tan pronto! y de materias más elevadas ha podido refrescar aquellas que hubo de explicar en algún momento de su carrera. Y no vale en absoluto buscar con un candil el contraejemplo de esa eminencia que sabe de todo, porque esos no abundan. Lo que sí abundan son los/as matemáticos/as que desarrollan su actividad profesional con un bagaje justito de información, porque ni la vida ni su trabajo les exije ninguna puesta al día plural. Sin embargo, ¿quién se atreverá, salvo casos que me cansa repetir, a negarles el derecho a ser y a sentirse matemáticos? Y lo mismo que hago esta reflexión en presente podría extrapolarla hacia el pasado, donde a la hora de valorar el mérito de los autores se escudriña la más reciente memoria que pudiera haber aparecido en el mercado de papel para señalar algún feo concreto en una página biográfica más o menos brillante. Ni dejar de saber algún fleco -por más importante que éste nos pueda aparecer ahora- empañará una brillante hoja de servicios, ni dejará de haber algún cuerpo de doctrina común en todos los momentos de la historia que permitirá a unas personas considerarse matemáticos y distinguirse del resto de los mortales.

Me voy a permitir poner un ejemplo que puede explicar graciosamente la frontera existente entre los dos mundos. La idea original es del Premio Nobel Eugene P. Wigner, aunque donde yo la he conocido es en un trabajo de Gaetano Fichera(67):

"Vi è una storia relativa a due amici che erano vecchi compagni di scuola e, reincontratisi, vennero a parlare dei relativi mestieri. Uno di essi era statistico e lavorava nei problemi di incremento della popolazione. Ebbe così modo di mostrare un suo estratto all'antico compagno. L'articolo cominciava, come di consueto, con la distribuzione Gaussiana e lo statistico spiegava al vecchio amico i simboli usati per indicare l'effettiva popolazione, la popolazione media e così via. Il compagno di scuola, digiuno di cognizioni scientifiche, era alquanto incredulo e non era molto sicuro che lo statistico non stesse prendendolo in giro. -Ma come puoi sapere queste cose -gli chiedeva sospettoso- e poi che simbolo è mai questo?. -Beh -rispose lo statistico- questo è P -Che cosa? -E il simbolo che indica il rapporto fra circonferenza e diametro di un cerchio. -Adesso basta di scherzare! - intervenne l'altro risentito -Sicuramente l'incremento della popolazione non ha nulla a che vedere con la circonferenza del cerchio!

Quizás este diálogo pueda ilustrar dos cosas. Por una parte las misteriosas interconexiones que aparecen entre parcelas aparentemente alejadas dentro de las matemáticas, lo que refuerza la existencia de un tronco común, y por otra la contrastada realidad fácilmente comprobable en muchas personas a las que la historieta anterior les dejará completamente indiferentes.

Resumiendo, ese conjunto impreciso pero real de saberes, procedimientos y realidades comunes, que desde antiguo se intuye en cada momento del tiempo como matemática, es el tronco doctrinal al que llamo paradigma universal.

Admitido el hecho de que las matemáticas tienen en el periodo clásico griego la categoría de ciencia, y siendo conscientes de que se deja abierto el tema de la explicación, según el modelo aquí abordado, de las construcciones matemáticas en las culturas de la Edad del Bronce y anteriores, es coherente pensar en la existencia de un paradigma griego, construido en el periodo helenístico y marco teórico de los trabajos matemáticos durante más de veinte siglos. Soy consciente de que esta parcela del conocimiento está avanzando de manera apreciable desde que han aparecido en algunos países del Tercer Mundo algunos profesionales que, lejos de avergonzarse de sus culturas autóctonas -que los europeos siempre han considerado como de categoría inferior a la propia-, se han puesto a trabajar en estos trasuntos de la historia de las matemáticas en general y de la de la geometría en particular. Sobre este particular ya Coolidge, en su famosa historia de los métodos geométricos, se había hecho la pregunta sobre el posible inicio de la geometría viéndose impulsado muy hacia atrás en el tiempo hasta superar incluso el momento evolutivo de la aparición de la especie humana(68). Lo que los estudiosos del tema están en este momento aportando nutre de nuevos elementos de reflexión el proceso de matematización de los primeros estadios hasta ahora despreciados o desatendidos por desconocidos. Quizás dentro de algún tiempo se pueda corroborar un hecho que hasta ahora es sólo una intuición sostenida por unos pocos: que la matemática griega es un entramado intelectual resultado de la convergencia de muchas más líneas de desarrollo que las representadas en las dos grandes culturas de la Edad del Bronce(69). Y que esas líneas han jugado un papel significativo tanto en los saberes de las civilizaciones potámicas como en las propias matemáticas helenas. Considerar que las presunciones de los sabios contemporáneos que trabajan sobre documentos y restos arqueológicos con todo rigor son la verdad indiscutible es demasiado fuerte(70). China e India son desde luego dos ejemplos bien evidentes de que las alegres generalizaciones europeas son procesos muy domésticos. Al fin y al cabo sigue siendo plenamente correcta la apreciación de Engels de que la geometría, como disciplina intelectual, es hija de las necesidades humanas. Así, en su famosa obra con la que consiguió hacer pasar a la inmortalidad al oscuro y confuso matemático formalista Sr. Dühring(71), señala:

"La representación de líneas, de superficies, de ángulos, de polígonos, de cubos, de esferas, etc. se saca de la realidad y se necesita mucho candor ideológico en los matemáticos para creer que la primera línea ha nacido del movimiento de un punto en el espacio, la primera superficie del movimiento de una línea, el primer cuerpo del movimiento de una superficie, etc. Ya la misma lengua se rebela contra semejante idea: una forma matemática de tres dimensiones se llama cuerpo, corpus solidum en latín, es decir, un cuerpo palpable; lleva, pues, un nombre que viene, no de la libre imaginación del espíritu, sino de la realidad sólida y tangible"(72).

La separación en compartimentos casi estancos que la estructuración del saber ha tenido en el siglo XX ha significado que el trabajo de antropólogos, arqueólogos e historiadores de la ciencia -y en concreto los de la historia de las matemáticas- no haya sido compartido, y por eso es tan importante la incorporación de los historiadores de las matemáticas a este tipo de estudios.

En mi descargo a la falta de atención a un proceso que me interesa muchísimo, pero que sólo conozco como mero aficionado, debo decir que yo también soy absolutamente culpable del eurocentrismo que pretendo criticar. Es difícil cambiar la historia, pero las personas nacen donde nacen, estudian donde estudian y el ambiente que les rodea es el ambiente que les rodea. Transformar las mentalidades y comenzar de nuevo nos exigiría -a mí por lo menos- volver a nacer para comenzar desde el principio y en el caso de que así fuera, tal como andan los tiempos, la instrucción que recibiera tendría, mutatis mutandis, las mismas deformaciones que ahora critico. Por eso, y porque es real como la vida misma, cualquier reflexión sobre el desarrollo de lo que se llaman disciplinas científicas modernas debe comenzar en la Grecia clásica.

Parte II

Paradigmas Matemáticos

4. Los Paradigmas Matemáticos Universales

Con ánimo simplificador, que no simplista, y haciendo abstracción de los desarrollo atípicos y particulares que se han presentado en la historia de las matemáticas, se partirá, pues, de la definición del paradigma griego como base apropiada para la construcción de los paradigmas posteriores.

4.1. El Paradigma griego

Dice Popper(73) que el papel jugado por el conflicto de culturas en el nacimiento de la ciencia griega -matemáticas y astronomía- fue muy fecundo y añade que:

"nos idées de liberté, de démocratie, de tolérence, et aussi les idées de connaissance, de science, de rationalité, remontent toutes à ces commencement".

Aparte de aplaudir la idea no muy extendida de la deuda de la ciencia griega respecto a un rico mosaico de culturas anteriores, no me voy a extender mucho en señalar mi profundo desacuerdo con el recientemente desaparecido filósofo de la CIA. Solamente quiero señalar cuántas lecturas diferentes puede tener la cultura clásica, porque aunque comprendo que el concepto de democracia de Popper sea perfectamente acorde con el mantenido en Atenas -en que unos escasos hombres libres controlan y dominan a las cuatro quintas partes de los seres humanos que en un territorio viven, lo mismo que ahora una pequeña parte del potentado primer mundo domina al resto de los miles de millones de personas del planeta-, espero que se entienda que hay muchos otros hombres y mujeres que no compartimos esos criterios de democracia, tolerancia, libertad e igualmente los de ciencia, racionalidad y conocimiento.

Resaltar los elementos característicos de la matemática tras las elaboraciones de los periodos heleno y helenístico puede parecer repetitivo. Una de las pocas etapas de la historia de las matemáticas estudiada desde múltiples puntos de vista -casi todos interesantes- es precisamente la de la Grecia clásica(74). Sin embargo, lo que aquí se pretende establecer son aquellos aspectos claves que, en el proceso acumulativo de la ciencia normal a lo largo de más de veinte siglos, permanecieron inalterados, dando sentido a la propia definición de las matemáticas, y estos elementos son los constituyentes básicos, precisamente, del paradigma griego.

Es un hecho constatado que la matemática construida en Grecia contaba en el inicio de su articulación científica con muchos de los elementos que iba a utilizar para su desarrollo, y particularmente los conceptuales, instrumentales y metodológicos, prácticamente definidos. La relativa ambigüedad de algunos términos sería desvelada gracias a las polémicas en las que participaron los filósofos-geómetras. Por retener las ideas claves que caracterizan al paradigma griego se presenta el siguiente esquema, que se explicará a continuación.

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Una advertencia previa a establecer surge del considerando de la propia definición de paradigma. La constatación de que la mayoría de las comunidades científicas helenas o helenísticas se atuvieran a este tipo de esquema teórico no significa que la totalidad de los geómetras se ciñeran estrictamente a él. Si en el delicado terreno de la astronomía, a pesar de sus implicaciones religiosas, hubo pensadores heterodoxos, como Aristarco, defensores del heliocentrismo, la figura de Arquímedes serviría para dotar del necesario relativismo a lo que aquí se está exponiendo. La trabazón interna de la matemática del periodo clásico griego y lo depurado de su exposición incitan al asombro en cualquier aproximación intelectual. Claro está que esta aproximación no siempre se ha realizado con el debido respeto y preparación. Como señala Russell(75), al analizar la obra de Platón, hay que lamentar a menudo la interpretación de quienes no siendo

"lo bastante sutiles para comprender las teorías de Platón, convirtieron los serios estudios de éste en misteriosa elaboración numérica, aberración que desgraciadamente no es tan infrecuente como sería de desear"

y Platón es fundamental para entender el proceso de formación del paradigma griego. Esta reflexión es necesaria como advertencia para señalar la tenue disarmonía entre los criterios del paradigma griego y la construcción de síntesis del texto más representativo y sustentador de dicho paradigma, los Elementos de Euclides. Platón es fundamental por la articulación rigurosa del logos. Se podría decir que los elementos que pueblan el universo matemático tienen la personalidad que tienen tras aceptársele a Platón un riguroso sistema de definiciones. Aunque, como es sabido, Platón vaya más lejos que lo que enmarca el universo generado por los conceptos numéricos heredados de los pitagóricos o por los procedentes de los restantes geómetras. Euclides, si embargo, ya no va tan lejos, aunque parte del superabundante conjunto de definiciones, las une a los postulados y a las nociones comunes aristotélicas pertinentes para demostrar proposiciones y teoremas y quedarse ahí. De ahí, la tenue disarmonía. Son elaboraciones próximas, pero no congruentes. En un interesante trabajo de propósitos no lejanos al que aquí estoy desarrollando, asimila Hernando(76) otra variante de los referentes paradigmáticos a lo que él llama estructura ontológica subyacente, de ámbito más ambicioso que el cuadro de creencias relativas a la ciencia y que se articula fundamentalmente en el orden de las ideas sobre los constituyentes básicos del mundo y las relaciones entre ellos(77). Hernando enuncia algo que permite profundizar en la maraña de matices teóricos del pensamiento clásico de la siguiente manera(78):

"La [estructura ontológica] clásica no fue ni mucho menos adoptada de manera homogénea, por el contrario, hubo varias escuelas de pensamiento que se alejaron de ella de una u otra forma (...) lo que se pretendía era modificarla manteniendo lo fundamental".

Este es el caso de la geometría clásica y de sus relaciones con los jefes de fila más significativos del período.

Antes de considerar otros detalles sobre la pervivencia, extensión y vías de desarrollo de la matemática euclídea a lo largo del tiempo, será bueno señalar, aunque solamente sea un punteo, las etapas en las que yo lo entiendo dividido, porque quizás tras esta división podrán aumentarse las posibilidades de acuerdo en el mantenimiento de la vigencia del paradigma. Indudablemente el primer estadio es el del entorno helenístico con el Museo de Alejandría como punto de referencia para el establecimiento del sistema de acuerdos y desacuerdos entre los geómetras. Primera salvedad: con este punto de partida se está minusvalorando la presencia de toda la producción anterior dentro del mismo mundo heleno. Es obvio que algunas de las escuelas anteriores al mundo helenístico, como es el caso de la jonia, han tenido una influencia en el desarrollo histórico de las ciencias naturales cuya importancia sería difícil subestimar. Sin embargo, en el universo matemático, aunque siempre se colocan algunas referencias anecdóticas a algunos autores de este tramo en las historias generales de las matemáticas, es claro que su posición fue la perdedora en el enfrentamiento teórico que tuvo por destacados ganadores al núcleo filosófico ateniense sobre el sustrato de las contribuciones de Pitágoras, Parménides(79) y Eudoxo como más significativos pilares del edificio conceptual. Como llevo dicho y diré algunas veces más a lo largo del presente trabajo, la existencia de elaboraciones heterodoxas, representadas por pitagóricos tardíos como Nicómaco de Gerasa, o como la mucho más importante de Diofanto de Alejandría, no invalidan el papel de la obra euclidiana como modelo a seguir y a respetar. Otro caso podría ser el de Arquímedes, sobre todo por su significación histórica en el Renacimiento, pero por razón de desconocimiento de una parte significativa de su obra en una buena porción del período de vigencia del paradigma o por su escasa, por no decir nula, contradicción teórica pública -aunque sí metodológica- con los elementos más representativos de su definición, la posible alteración del esquema anteriormente presentado sería mínima. Cuando la obra de Arquímedes entró en confrontación con paradigmas y autores vigentes fue con Aristóteles y en el terreno de la física pero, hasta donde yo alcanzo a colegir, nunca con Euclides o con Apolonio de Perga.

Un paradigma de tan larga vigencia no puede dejar de tener momentos de ensombrecimiento, crisis o, simplemente, olvido. En la Alta Edad Media un objetivo progresivo fue la recuperación del paradigma griego fragmentariamente recogido. Así, la segunda etapa es la de la recuperación del legado euclídeo, dentro del paquete de las ciencias de los antiguos, por la tradición islámica. Aquí tampoco hay fisuras. El arranque de la ciencia islámica se hace sobre la base consolidada del periodo clásico. Al-Biruni (973-1048) decía(80):

"Debemos limitarnos a tratar lo que han tratado ya los antiguos y a perfeccionar lo que es susceptible de perfeccionamiento".

Muchos más autores podrían traerse para corroborar la afirmación de que la base conceptual sigue siendo la euclídea y las aportaciones musulmanas son el sustrato cimentador para el proceso de trasmisión hacia Europa de los Elementos, lo que se ha dado en llamar Euclides latino y medieval. Aquí contamos ahora con los trabajos de Busard, el último discípulo de Dijksterhuis. Aunque la obra de Busard cubre prácticamente todos los campos de interés de las matemáticas medievales y algunos casos puntuales de las primeras modernas, la parte más destacada de su obra es, como queda dicho, el Euclides latino. Antes de Busard solamente se había impreso durante el Renacimiento la versión de Campano de Novara. Como referencia de literatura secundaria sobre las traducciones latinas de los Elementos procedentes del árabe, se acudía sistemáticamente al trabajo de Marshall Clagett(81). En concreto debemos a Busard(82) las versiones de Adelardo de Bath (Adelardo I), Hermann de Carinthia y Gerardo de Cremona, el Adelardo II (que Busard atribuye a Roberto de Chester), importante manuscrito base de la versión de Campano -el Euclides medieval- y otra versión más atribuida a Alberto Magno -éstas en lo que respecta a las traducciones desde el árabe-, pero además Busard ha editado también una traducción latina realizada directamente del original griego en el siglo XII. Ello a pesar de la abundante bibliografía euclídea de impresos que, si se tiene curiosidad, puede comprobarse en el Saggio de Riccardi(83).

Desde finales del siglo XV, que es cuando se abre la tercera etapa, y a pesar de los trastornos generales del universo científico, el paradigma griego conserva su vigencia, pero a base de asimilar las incrustaciones teóricas que se van produciendo, preferentemente de carácter instrumental, con incidencia principal en los aspectos simplificadores de los aspectos teóricos más difíciles(84).

Quizás en este momento convendría hacer una digresión sobre lo que puede entenderse por la conservación de la vigencia de un paradigma matemático. La historia de las matemáticas, a pesar de toda la tremenda acumulación informativa que las matemáticas han experimentado en los últimos cincuenta años -que ha llevado, con razón, a todos los analistas a afirmar que desde el final de la Segunda Guerra Mundial se han enunciado y demostrado muchos más teoremas que en toda la historia anterior-, todavía podría clasificarse, en similar perspectiva -aunque no idéntica- a la que en este trabajo estamos considerando, en euclídea y no euclídea. No por referencia a la ratificación, negación o presentación alternativa de los postulados, nociones comunes, definiciones o metodología demostrativa del geómetra helenístico sino, lisa y llanamente, por la influencia y seguimiento directos de la obra más estudiada de toda la historia de la ciencia príncipe. Sobre todo, obvio es decirlo, por la importancia de los Elementos, la obra cumbre de la historia de las matemáticas que todo matemático/a hubiera deseado haber firmado. El protagonismo indiscutible de los Elementos se establece como un punto de referencia obligado -para bien y para mal- en todos los momentos de la historia interna de la disciplina, ya que construir otro tipo de tratamiento sobre este texto es harto complicado. Por eso no son inusuales los exabruptos del tipo ¡Abajo Euclides! que de tanto en tanto asoman en el quehacer cotidiano, sobre todo cuando se han tratado de ensayar nuevas metodologías en la época contemporánea. Pasaré por alto el último famoso exceso verbal bourbakista conocido, para poner otro ejemplo menos accesible y, sin embargo, siempre presente en las bocas y en las mientes de matemáticos aplicados o de utilizadores de las matemáticas.

A comienzos del siglo actual -y no sólo entonces- se generó un agitado debate sobre las matemáticas que debían enseñarse en la escuela, en los liceos, institutos y gimnasios, en los centros de formación de ingenieros y arquitectos, en las academias militares o en las especialidades de ciencias no matemáticas. Se organizaron congresos específicos (notoriedad tuvo el de Glasgow de 1901) y se dedicaron secciones especiales al tema en las reuniones nacionales e internacionales de matemáticos. En particular se distinguió en aquel debate el Profesor John Perry del Imperial College de Londres, un verdadero propagandista de la posición antieuclídea. Las ideas de Perry, que tuvieron cierta resonancia en España gracias al seguimiento que Luis de Gaztelu, Marqués de Echeandía, hizo de ellas, se hacían fuertes ante las evidentes distorsiones que la pervivencia de la enseñanza de los Elementos de Euclides había producido en Gran Bretaña. En un Apéndice que Perry escribió en su libro Calculus for Engineers, señala que los Elementos representan una obra

"destructora de inteligencias y la acusa de hacer miserables las vidas de los jóvenes que la estudian, considerando como una señal de salud y robustez de la raza inglesa, el hecho de no haber sufrido deterioro por la enseñanza del Euclides durante varias generaciones. Y continúa: El 95 por cien de los estudiantes (...) es tan incapaz de interesarse en esas abstracciones, como el 5 por 100 restante lo es de un pensamiento original"(85).

He traído a colación estas extremadas expresiones para ver cómo se las han gastado algunos detractores de la mentalidad euclídea a lo largo de la historia, mas, a pesar de eso, Euclides y los Elementos siguen siendo al mismo tiempo punto de referencia y de interés para todas las personas cultas que se dedican a la ciencia príncipe. Esta referencia y este interés han supuesto la reflexión sistemática y recurrente de todas las generaciones de científicos desde el momento de la revolución científica. De esta reflexión han surgido -dicen- poderosas ideas de las matemáticas modernas, que para los menos iniciados es complicado vislumbrar, pero que aparecen con nitidez en muchos momentos desde la invención de la imprenta.

Los Elementos son una obra desigual. Cada vez que los ingenieros y arquitectos han organizado alguna marimorena pedagógico-conceptual del fuste de la referida en el parágrafo anterior se ha aludido a la enjundia y complejidad distinta de los trece libros que componen la obra original de Euclides. Así se dice, porque es correcto, que los cuatro primeros libros tratan de geometría plana, el VII, VIII y IX de aritmética, el XI y XII de geometría del espacio; el VI y el XIII son misceláneas asequibles sobre figuras semejantes y geometría plana y del espacio respectivamente; el V y el X son los dos libros especiales, un vivero eterno de sugerencias; el X versa sobre los números inconmensurables y el V trata de las proporciones. Estos dos últimos libros, sobre todo el V, por no ser un texto fácil y por las imágenes que contiene, ha sido el que ha merecido, merece y sin duda ninguna merecerá más atención tanto de los matemáticos profesionales cultos -que por desgracia no se prodigan- como de los historiadores de las matemáticas cultos, que no es que haya multitudes, pero porcentualmente sí que hay más. Así ocurrió en cuanto la obra euclidiana superó la obligada travesía del desierto de su difusión manuscrita y se colocó como texto de referencia en cuantos establecimientos quisieron relacionarse con la ciencia en el siglo XVI. Algunos de los libros de más rápida e intuitiva comprensión fueron rápidamente asimilados, aunque llevaran en su seno algunos problemas tan profundos como el relacionado con el quinto postulado, las asíntotas o el ángulo de contacto. Los dos libros numerados con múltiplos de cinco fueron de recepción más ardua, aunque en absoluto desdeñables por ser -sobre todo el V- la piedra de todo el edificio euclídeo, sin cuyo concurso no hubiera podido levantarse más allá de las consideraciones elementales. Y en un momento en el que el ataque a los secretos de la naturaleza se articula en torno a la construcción cuantitativa de la filosofía natural, la teoría de las proporciones va a constituir el lenguaje -complejo, difícil y abstracto- de esa filosofía natural matematizada. El proceso de asimilación de la doctrina euclídea de las proporciones fue largo y difícil y mereció múltiples estudios que fueron de la justificación a la reforma. Una reforma proclive a las formulaciones alternativas en pro de una mayor sencillez didáctica y de mejores herramientas de cálculo para el desarrollo de las nuevas ciencias emergentes(86).

En otro orden de asuntos se podría señalar también que una cosa es el aspecto conceptual de la exigencia correcta de definición, que es característico de las matemáticas que se sustentan en el paradigma griego, y otra la pequeña o gran inexactitud de algunas definiciones y las insuficiencias generales apuntadas por Dou(87) en sus Fundamentos de la matemática. A la bien conocida estructura interna de los desarrollos matemáticos helenos y helenísticos, sintetizada en los caracteres internos del paradigma, esquemáticamente aceptados como entramado conceptual para la denominación de esta parte del saber científico a través de los tiempos -a pesar de sus substanciales transformaciones-, hay que añadir algunas someras explicaciones sobre las características externas y teleológicas de la matemática griega.

La expresión moderna del cientismo matemático contemporáneo, con su relativismo a ultranza, ha pretendido disminuir la importancia de los aspectos externos y de finalidad del pensamiento matemático. El cientismo pretende en su argumentación escapar del debate histórico, porque si pretendiese actuar rigurosa y honestamente debería contrastar su elaboración teórica con las elaboraciones científicas que consagraron y consolidaron la existencia de las matemáticas como ciencia. Y en estos aspectos no se puede separar la coherencia lógica interna de las construcciones matemáticas griegas de sus representaciones externas, de sus implicaciones sociales y de sus objetivos. Sería muy extenso -y es además bastante conocido- explicar, con la artillería bibliográfica suficiente, el fundamento histórico de estas afirmaciones, por lo que se van a señalar simplemente algunos de sus rasgos más notables. El carácter preeminente de la matemática platónica surge de su establecimiento como ciencia de las relaciones estables. Hay en esto un rasgo de fundamento en el que las matemáticas sintetizan elementos de alcance físico, racional y teológico. Hay que pasar por esta posición de centro epistemológico para poder explicar y comprender todas las situaciones capaces de ser racionalizadas; hasta el extremo de que lo no susceptible de matematización es arrojado al infierno de lo mutable y asimilado automáticamente a la categoría de lo irracional. Esa preeminencia de la matemática en el conjunto del saber, que se identifica en dos de los polos más atractivos y ennoblecedores del pensamiento griego, el cultivo de la Belleza y la búsqueda de la Verdad, representa a su vez una definición de la actividad matemática asimilada a las especulaciones teóricas de alcance filosófico. Y por esa definición del paradigma griego se explica de forma coherente que, en el periodo cristiano-medieval, en el que hay un desmedido encumbramiento de la teología y la filosofía en el proceso de jerarquización escolástica del saber, las matemáticas salvaran su prestigio y continuidad, en función del papel fundamentador que les fue atribuido en el paradigma clásico griego. Claro que todo tiene sus riesgos, pues a pesar de la perfección y belleza de esas construcciones matemáticas y de su dignificación intelectual, la proximidad a las especulaciones de carácter religioso y la necesidad de matematizar todos los elementos del mundo suprasensible propiciaron la aparición de elementos contaminantes procedentes, ya de la astronomía, ya directamente de la magia, en ocasiones interrelacionándose. En conexión íntima con este aspecto cabe tratar el aspecto externo de la matemática griega como rasgo de distinción social. Es un aspecto bastante estudiado el contenido elitista de los conocimientos matemáticos en Egipto y Mesopotamia, de donde se admite llegó a la matemática griega por vía pitagórica. Detalles de utilización interesada de la ciencia en esta vertiente mágico-esotérica se pueden observar muchos a lo largo de los siglos de pervivencia del paradigma(88), pero esto, sin dejar de ser característico, no es lo esencial del distintivo de clasificación social, porque es evidente que ni todos los geómetras quisieron aparecer como magos en sus entornos sociales, ni todos utilizaron sus conocimientos matemático-astronómicos para suscitar admiración (de hecho hay aplicaciones de los conocimientos científicos al servicio de intereses concretos harto modernas). Ni todos ni una muestra representativa. Lo que sí resulta característico es lo que pudiera calificarse como quintaesencia de la nobleza que ha distinguido socialmente a los cultivadores de las matemáticas. Por supuesto que no son ajenos al ennoblecimiento social de los matemáticos las finalidades explícitas de Belleza y Verdad, que les han dotado simultáneamente de un relativo encanto poético y de un respeto de hombres justos, elementos a los que debe añadirse la dificultad intrínseca de la disciplina cultivada. Porque ni el poeta ni el hombre justo a secas han tenido (siempre sin perder de vista las coordenadas de los medios sociales en los que se expresaron las matemáticas sustentadas por el paradigma griego) necesariamente que esforzarse en adquirir ese tipo de virtudes, mientras que los geómetras debían estudiar muy duramente. La traducción a sociedades más desarrolladas socialmente, como son las de la Edad Media avanzada, árabe o cristiana, llegó a establecer criterios de asimilación del cultivo de las ciencias -difícilmente separables de las matemáticas en esa época- a las categorías de Sabiduría y Santidad.

El tema perennemente abierto en el análisis del proceso intelectual que supone la pervivencia del paradigma griego lo suponen las contribuciones del siglo XVII. Sobre este tema, que no voy a abandonar de modo abrupto, se han desplegado todo tipo de conjeturas tras ser abordado desde todo tipo de perspectivas. A la obviedad que se desprende de la evidencia de los cambios en los conocimientos sobre el cosmos o sobre el cuerpo humano, de la aparición de nuevas disciplinas como la estática y la dinámica o la liquidación de prejuicios limitantes para el estudio de la naturaleza, como es el caso del vacío, se ha tendido a añadir, un tanto impulsivamente, la idea de que también las matemáticas experimentaban una transformación cualitativa y no sólo cuantitativa. En mi opinión el tema está lejos de permitir una opinión categórica y tajante, porque junto al avance de las posiciones racionalistas que incide, en ocasiones, en la aparición de nuevas disciplinas, la presencia testaruda de los Elementos de Euclides, de las Cónicas de Apolonio, y del nada despreciable arsenal de gigantes sobre cuyos hombros se va a acometer el enunciado de la nueva física y de la nueva astronomía, parecen incitarnos a insistir en el hecho de que los elementos nucleares que definen las matemáticas del siglo XVII son los mismos que las de los veinte siglos anteriores. También de la controversia entre lo viejo y lo nuevo se pretende extraer la idea de cambio para todos los órdenes y todas las disciplinas intelectuales. Tampoco es evidente. Blaise Pascal, uno de los más cualificados representantes de esa esquizofrenia intelectual, que reclama atenerse a lo nuevo en ciencia y a lo estrictamente antiguo en creencias, no se separa de la tradición cuando aborda la presentación sistemática de la geometría, todavía disciplina central del pensamiento matemático, en la que distingue el objeto de la geometría, los principios relativos al material con los que se trabaja, las reglas con las que debe ser trabajado y las proposiciones que deben ser demostradas(89). Y sus propuestas no difieren en nada de las pautas euclidianas.

La pervivencia del paradigma griego en el modo de producción feudal es la primera colisión histórica con las tesis de los que Lakatos llama marxistas vulgares, que asocian a cada modo de producción de bienes materiales una ciencia específica y diferenciada. Pero no estriba en ese punto el aspecto de mayor interés sobre la crisis del paradigma griego. Como se acaba de apuntar, la trascendencia de los cambios producidos en los siglos XVI y XVII a nivel científico general, y en particular en astronomía y física, ha dado lugar a que se haya estereotipado el concepto de revolución científica para designar dichos acontecimientos. Aunque es evidente que el profundo impacto de las nuevas ideas en astronomía, en mecánica e incluso las consideraciones sobre el magnetismo subvierten en varias ocasiones las estructuras científicas, en el terreno de las matemáticas lo único que se producen son añadidos, anexos -si se quiere geniales, dicho sea para no perder la costumbre- que amplían el campo de trabajo, pero que todavía no afectan a la estructura general de lo que se entiende como matemática en ninguno de sus caracteres definitorios. Es más, para Newton, autor sin duda alguna clave en el proceso de renovación conceptual e instrumental, la cimentación argumental sigue siendo la clásica. En todos los órdenes. Desde el epistemológico, al fundamentar estrictamente su sistema del mundo y la Verdad sobre el Universo en la fuerza de las argumentaciones matemáticas; de ahí que la obra clave a escribir en el siglo XVII sea encontrar los principios matemáticos de la filosofía natural. Esto es, como Koyré ha rotulado, el paso de un universo cerrado a otro infinito. Pero esta cuestión, que es trascendente a nivel físico, desde el punto de vista matemático se desarrolla plenamente en los criterios del paradigma griego.

4.2. El Paradigma lagrangiano

Sin embargo, el cataclismo teórico general no puede dejar de afectar la estructura interna de las matemáticas. La primera -aunque no cronológicamente- incidencia notable de las aportaciones matemáticas del siglo XVII en el paradigma griego es la generalización del instrumental a los medios continuos. Este instrumental, continuamente perfeccionado en la práctica a lo largo del siglo XVIII, aporta éxitos relevantes y prestigio a la nueva forma de entender y hacer matemáticas. Quien en el siglo conseguirá domeñar la parte -en aquel momento- más importante de la física será, sin duda, Lagrange y su obra de referencia clave, la Mécanique Analytique(90). Nos detendremos un momento en este instante de la historia, porque la obra y el autor lo requieren. Aunque reincidiré en el tema enseguida, no sobrará insistir en los dos detalles apuntados, a saber: el prestigio instrumental y el carácter matemático de la mecánica. Respecto a esto último no creo que nadie pueda tener ningún asomo de duda tras la lectura de la nota preliminar que el propio Lagrange escribe para la primera edición de 1788 y de la ratificación en la segunda, porque en ese escaso número de líneas se contienen valiosos elementos de referencia para la tesis que estoy sustentando. En efecto, allí puede leerse(91):

"(...) le plan [de ce Traité de Mécanique] est entièrement neuf. Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science, et l'art de résoudre les problèmes qui s'y rapportent, à des formules générales, dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème. J'espère que la manière dont j'ai taché de remplir cet objet, ne laissera rien à désirer".

Y añade unas líneas después de forma aún más explícita:

"On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnements géométriques ni mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche réguliere et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse, verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gré d'en avoir étendue ainsi le domaine".

Desde luego para Lagrange estaba claro a qué árbol estaba unida la rama de la mecánica y con qué método debía desarrollarse. Mas la obra no quedó, a pesar de los avatares conocidos que hubo de pasar para que se imprimiese por primera vez, como un mero deseo del autor, sino que llegó a la comunidad científica con la aprobación de la Academia de Ciencias de París, según consta en el registro correspondiente firmado por Condorcet.

También vale la pena detenerse otro instante en la referencia al instrumental empleado. En la segunda edición llevada a cabo por Lagrange se amplía la nota preliminar, en la que repite todo lo que había escrito en la primera, para aclarar algunos puntos sobre los que se habían planteado algunas discusiones. De todo lo que allí se contiene recojo, sólo para abundar en la afirmación anterior relativa al prestigio de los métodos prácticos, el siguiente párrafo(92):

"On a conservé la notation ordinaire du Calcul différentiel, parce qu'elle répond au système des infiniment petits, adopté dans ce Traité. Lorsqu'on a bien conçu l'esprit de le système, et qu'on s'est convaincu de l'exactitude de ses résultats par la méthode géométrique des premières et dernières raisons, ou par la méthode analytique des fonctions dérivées, on peut employer les infiniment petits comme un instrument sûr et comode pour abréger et simplifier les démonstrations. C'est ainsi qu'on abrège les démonstrations des Anciens, par la méthode des indivisibles".

La Mecánica de Lagrange es matemática mixta y en aquel momento matemática de primerísima categoría. Y no sólo porque lo considerara el autor, sino porque era el criterio de la comunidad científica de la época. Ya en el siglo XVIII, Montucla, ese gran croniqueur, como lo llama Naux en el prefacio a la más reciente reimpresión de su gran Histoire des Mathématiques(93), lo señala con nitidez(94):

"Mais l'esprit humain, après s'être livré quelque temps à ces recherches de pure spéculation, recherches d'autant plus agréables pour lui qu'il trouve toujours une évidence pure et lumineuse, est bientôt forcé par ses besoins ou sa curiosité à rentrer dans le monde naturel. Le mouvement des corps et leurs efforts mutuels, occasionnés par leur impénétrabilité, sont les premiers objets dont il a intérêt de s'occuper. Aussi donnent ils lieu à la partie la plus considérable et la plus utile des Mathématiques mixtes, savoir la mécanique".

Y continúa con un interesantísimo párrafo en el que, desde una perspectiva matemática de inspiración netamente francesa, se encuentran muchas ideas que expenderían durante dos siglos los apóstoles del industrialismo:

"On dira peut-être que l'origine que nous donnons ici à cette science est peu conforme aux faits, puisqu'elle semble n'avoir été réputée partie des Mathématiques que vers le temps d'Aristote. On en convient, mais cela n'empêche pas que les premières recherches des hommes sur la Mécanique ne doivent être regardées comme de la plus haute antiquité. On fit long-temp par instict ce qu'on fait par une suite du raisonnement, depuis qu'on a approfondi les principes du mouvement et de l'équilibre. De tout temps presque il y a eu des machines; de tout temps les hommes ont travaillé à contrarier la nature ou à la plier à leur usages".

Como quienes nos dedicamos al noble y decadente oficio de pensar hablamos más de una vez en prosa sin saberlo, aprovecharé para abundar en mi tesis rupturista del momento histórico que aquí gloso una opinión por definición lejana de mis actuales pretensiones. Por suerte, el momento de escribir sobre este asunto ha venido precedido de una avalancha de trabajos propiciados por el bicentenario de la Revolución Francesa. Muchos colegas y equipos aportaron su reflexión de mayor o menor calado al fenómeno de la ciencia en aquellos importantes años. La primera idea que traigo a colación es una de Rashed sobre las ciencias, preferentemente exactas, de este período y su papel de elemento intermedio entre dos épocas(95):

"La science du temps de la Révolution et tout particulièrement les sciences exactes, relèvent en effet d'une période qui couvre bien un siècle et demi. Le signes annonciateurs de cette ère sont déjà perceptibles au milieu du XVIIe; son crépuscule coïncide avec la fin du XVIIIe siècle et le début du siècle suivant. C'est la fin de la science classique, dont l'aube remonte à la période héllenistique, ou, selon les cas, aux IXe-Xe siècles, et le commencement de la science moderne".

Aunque no estoy de acuerdo con todas las apreciaciones de Rashed, en el que comprendo su interés por acercar su estructura de la historia a sus concepciones e intereses -como yo por otra parte hago con los míos-, sí que me parece pertinente apoyarme en su visión del corte del desarrollo de las ciencias exactas hacia este momento de la historia que en mi opinión tiene flecos más dilatados en el tiempo y contiene elementos de separación bastante nítidos con la ciencia clásica, llámese a ésta como se quiera. Distinción que tampoco pasa desapercibida al propio Rashed, que añade:

"Les sciences sous la Révolution Française (...) renferment les prémices de ce qu'on nommera plus tard la science moderne. Certes mêlée à anciennes formes, cette modernité est pourtant bien là: elle se présente comme la conquête de ce grand siècle, et surtout de sa seconde moitié. Elle distingue la configuration scientifique dans son ensemble: la rationalité scientifique elle-même, l'organisation sociale de la science, l'avènement de son histoire comme discipline autonome, et l'élaboration d'une philosophie dont on voulait qu'elle lui fut adaptée".

Se le podrá llamar paradigma lagrangiano o cualquier otra denominación, pero en esa visión de Rashed hay un cuerpo de doctrina históricamente aislado y observable.

Nicole y Jean Dhombres, quizás también hablando involuntariamente en prosa, han estudiado desde múltiples puntos de vista el precipitado matemático observable en los años finales del siglo XVIII y comienzos del XIX y han aportado aclaraciones al tema de lo que yo llamo aquí paradigma lagrangiano en fechas bien recientes(96). El período elegido -el medio siglo 1775-1825- para realizar su estudio ha conducido a una profundización sobre los hechos matemáticos más notables no restringidos únicamente al espacio francés que, obvio es decirlo, me ha resultado sumamente útil para el desarrollo y aplicación al tema que aquí estoy abordando(97). Así, en su síntesis, se destaca el quíntuple papel jugado por las matemáticas(98) en el período elegido. Para los Dhombres éstos son, en resumen, los siguientes:

  1. Prosecución de la investigaciones matemáticas ya planteadas y señalamiento de formas nuevas.
  2. Búsqueda de un lenguaje universal y seguro en cuanto al desarrollo de las ciencias(99).
  3. Desarrollo de la educación matemática. Las matemáticas educan.
  4. Las matemáticas son la lengua de los iniciados de la ciencia.
  5. Las matemáticas se convierten en disciplina académica.

Se trata de cinco funciones que no desmienten el planteamiento aquí desarrollado, sino que lo completan. En ellas se ve claramente una componente social de las matemáticas, sobre todo por la vía de la educación, que tiende a incardinar los saberes matemáticos dentro de la estructura formativa de los cuadros que deben jugar un papel singular en el nuevo proceso de constitución de la nueva sociedad: los ingenieros. Naturalmente, y ése es un aspecto particularmente interesante en la presentación de los Dhombres, la percepción de estas funciones de las matemáticas no cae del cielo por revelación -más bien al contrario- y, como todos los procesos dialécticos que emanan de la vida, se abre camino en un juego de apoyos y oposiciones que dan mayor sentido a su evolución y mayor importancia a su triunfo.

Se podría completar este cuadro con el añadido de un factor que se convertirá en variable decisiva posterior para el desarrollo de las matemáticas: el enriquecimiento de los saberes abstractos a partir de la profundización del conocimiento de la naturaleza por la puerta de entrada de la física. Como se señala tantas veces en este apartado, el punto de referencia clave para este proceso lo supone la Mécanique Analytique de Lagrange, que a su vez podría ser colocado como punto culminante de una trayectoria representada por las contribuciones de muchos geómetras del XVIII en su deliberado compromiso por leer matemáticamente los secretos de los fenómenos naturales y también de los artificiales generados por el desarrollo de la vida humana. Bien es verdad que en este proceso el programa de Laplace,

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junto a Berthollet y la Societé d'Arcueil en una primera instancia y el subprograma de Biot en una segunda fase serán los protagonistas de articulación de ese proceso. Unos apuntes servirán para señalar los jalones más importantes de este proceso propio de desarrollo del paradigma de la época: los mismos desarrollos de Laplace sobre mecánica celeste, junto a los trabajos de óptica geométrica de 1819 de Fresnel, la teoría analítica del calor de Fourier en 1822, la electrodinámica de Ampère en 1823 y, por último, pero no menos importante, la colocación de una de las piedras angulares de la termodinámica en 1824 por Carnot en sus estudios sobre la potencia motriz del fuego significarán una forma de abordar sistemáticamente el desarrollo de la física a la manera de Lagrange(100). Los Dhombres también lo dicen con todas las letras(101):

"Laplace, s'appuyant sur la Mécanique analytique de Lagrange, avait ainsi réglé l'analyse des mouvements du système solaire même si ses approximations hardies requéraient bien des justifications".

Un último detalle servirá para cimentar aún mejor las cosas en lo tocante al carácter finalista de la ciencia de la época. Y aquí es bueno acudir a uno de los más comprometidos creadores de la época, Gaspard Monge, y a uno de sus más notables informes realizados durante la campaña de Egipto. Allí señala dos cuestiones bien evidentes a la hora de corroborar las tesis que defiendo. Por una parte, y en lo tocante a la utilidad inmediata de las ciencias, Monge señala(102):

"Il [El general en jefe de la expedición a Egipto] recommanda la confection d'une carte de son territoire, les observations utiles à l'astronomie et aux sciences naturelles; insista davantage encore sur les améliorations possibles dans le sort des habitants, dans la culture des terres et la répartition des eaux".

Para añadir a continuación:

"L'Europe savante ne saurait voir avec indifférence la jouissance des sciences appliquée à un pays où elles sont ramenées par la sagesse armée et l'amour de l'humanité, après avoir été longtemps exilées par la barbarie et la fureur religieuse".

Otro señalado cambio instrumental es la anulación de las preferencias geométricas de expresión, y también es notable la profundización en las disquisiciones sobre el método, aspecto que, por otra parte, aparece siempre que se desata una crisis en el universo del conocimiento.

Sin embargo, lo que de verdad se produce en los siglos XVII y XVIII es un desplazamiento del centro epistemológico en beneficio de la mecánica. El nuevo instrumental creado y la sensación de trabajar en las verdades del mundo físico desarrollan una ilusión desmedida en encontrar resultados aplicables, que fueran afinando más y más el conocimiento del mundo real. El paradigma griego se resquebraja precisamente por sus anclajes filosóficos y por sus objetivos teleológicos. Las matemáticas dejan paulatinamente de ser la ciencia príncipe para convertirse en un instrumento preciso y precioso de utilidad filosófica y práctica. Esto merece una explicación. Se ha dicho más arriba que la matemática sostenida en el paradigma griego tiene componentes secantes con la teología y la filosofía. El empecinamiento partidista de las clases dominantes del modo de producción feudal concedió un desmesurado papel trascendente a los presupuestos científicos. Al caer hecha añicos una concepción del mundo en cuya defensa se había llegado al extremo de quemar vivos a sus detractores y al presentarse el hecho de la demostración matemática -única que podía considerase válida- de que lo que defendían los inmolados era más correcto que lo que postulaban los supuestos tribunales de justicia, la implicación ideológica estaba clara. Había que rehacer toda la teoría del conocimiento y, en ella, lo más y casi únicamente fiable eran las especulaciones científicas. A lo largo del siglo XVIII la progresiva acritud de los conflictos sociales entra en el terreno de la teoría del conocimiento: las clases dominantes sostienen el esquema del saber jerarquizado de raíces medievales, la burguesía ascendente, cada vez más poderosa, propugna el cultivo de las ciencias que sirvan al desarrollo de las artes, la agricultura y el comercio. En ese proceso, a pesar del instrumental y de los conceptos utilizados, las matemáticas encontrarán un lugar bajo el sol de las ciencias útiles. Las matemáticas sustituyen los ideales de Verdad y Belleza del paradigma griego por objetivos pragmáticos de utilidad pública. Como es lógico pensar, este cambio de finalidad en los objetivos de la ciencia normal tiene necesariamente que producir cambios en la adscripción social de las comunidades matemáticas y de los científicos. Aunque es obvio que los perfiles de la situación y la afirmación de los paradigmas no se presentan de una manera uniforme en los distintos medios, las comunidades más representativas de la matemática del XVIII cambian el gesto ennoblecedor de los universales Belleza y Verdad por el no menos encomiable, pero más terrenal, progreso social. Así, los matemáticos se convertirán en agentes de cambio social y las categorías de distinción social abstracta del periodo esclavista o feudal adquirirán una expresión arquetípica más o menos militante, pero desde luego entroncada en esferas de poder. Poder que también se expresa en la calidad y cantidad del conjunto de científicos de las respectivas Cortes europeas.

Los matemáticos del XVIII aún mantienen algo del prestigio social heleno, lógico en un mundo en el que se recrean los valores de la antigüedad clásica, pero -aunque con las consabidas y contadas excepciones- se va a producir un cambio drástico en el papel de los geómetras en la sociedad. Los maestros de la Grecia clásica de mayor influencia vinculados a los grandes centros no son precisamente proclives a situaciones de cambio social. Hasta donde sé, ni por procedencia de clase ni por tradición heredada -la línea Pitágoras-Parménides-Platón imprimió carácter- la geometría oficial contesta para nada la, digamos difícil, para no cargar las tintas, situación de la inmensa mayoría de los mortales. Una de las razones de la armoniosa coexistencia de las matemáticas clásicas con las situaciones políticas emanadas del constantinismo o de la ortodoxia coránica hay que verla en el aprovechamiento que se podía obtener de aquéllas para el afianzamiento de las relaciones estables de carácter social. Tampoco sabemos mucho de la obra matemática de los sofistas, que presentaban alternativas al modelo triunfante pero que quedaron barridos del panorama intelectual durante muchos siglos. En el siglo XVIII, también salvo escasas excepciones, la leva de matemáticos se hace en capas sociales asimilables a las de la antigüedad, la tradición heredada se ha ampliado -aunque sin tocar casi ningún tipo de referencias-, pero ha cambiado la actitud de los geómetras respecto a la sociedad de su tiempo. Desde luego, para esta época y para este tipo de geómetras no es evidente la opinión de Dieudonné(103) sobre la difícil compatibilidad del desempeño de cargos administrativos o la militancia política con la creatividad profesional. Los casos singulares de Fourier, Galois o Cauchy, que Dieudonné considera excepciones, además de no ser nada vulgares podrían figurar en una lista en la que se incluyeran ministros de sorprendente producción científica posterior (Laplace, Monge), jefes militares (Lazare Carnot), empresarios-recaudadores de impuestos (Lavoisier), por no citar más que unos pocos casos. La mayoría de los matemáticos más conocidos de este periodo tiene una posición crítica con el antiguo régimen, posición concordante con los presupuestos de utilidad social de su función, pero obviamente no es unánime. Lo que sí es característico es la participación ideológica y la toma de posición política.

Otro detalle: el agotamiento del paradigma clásico. Estos cambios fundamentales e irrebatibles determinan un nuevo paradigma. Un paradigma que, en lo limitado de los objetivos del espacio físico real y de los enigmas que en él se plantean, va cerrando paulatinamente las vías de investigación. No creo que haya que invertir mucho tiempo y gastar mucha tinta en aportar elementos que sustenten la elección del protagonismo francés para la matemática articulada en los años finales del siglo XVIII y comienzos del XIX y, sobre todo, su carácter de referencia durante mucho tiempo. Los textos de autores franceses para todos los niveles de la enseñanza difundidos y traducidos a muchos idiomas serían la prueba experimental de la vigencia del paradigma y de la relativa obsolescencia que pudiera haberse trasmitido a algunas comunidades matemáticas del mundo. Digamos ya que, por su representatividad en el conjunto de esta matemática, por su personalidad como árbitro -dictador científico lo llama Grattan-Guinness(104)- y por haber advertido Lagrange que la situación presentaba claros síntomas de agotamiento(105) se denomina aquí paradigma lagrangiano al nuevo paradigma.

El tema de cualquier tipo de adscripción nominal a cualquier tipo de categoría histórica es siempre resbaladizo y arriesgado. Tendríamos en primer lugar que considerar el papel histórico de la tríada creadora formada por Leibniz, Jacobo y Juan Bernoulli y en segundo lugar -cronológico- la figura, sobre todo a causa de su obra -colosal en todos los órdenes-, de Leonhard Euler. Me atreveré a sostener que los hermanos Bernoulli están en la inflexión del cambio de tendencia en el paradigma matemático vigente, principalmente, por su actitud de conversos hacia la nueva herramienta lanzada por Leibniz en las páginas del Acta Eruditorum en 1684-86(106). Pero Leibniz, en el que mucho tiempo después de su vida activa se ha descubierto una rica gama de precocidades matemáticas que muy a menudo mueven al asombro es, ante todo, el último humanista renacentista. Como se demostró en el propio siglo XVIII está lejano de los modelos encuadrados por la horquilla intelectual representada por Euler y Voltaire. En otros más radicales, aún está menos presente. Por lo que se refiere a los Bernoulli, aun compartiendo las valoraciones de modernidad, no creo que haya graves dificultades para entender la contaminación de sus marcos conceptuales. Dou(107) lo ha afirmado con bastante rotundidad:

"En los Bernoulli el cálculo infinitesimal queda casi diluido y absorbido por la intuición geométrica, que se concentra en la observación y correcta interpretación y análisis de los infinitésimos de diversos órdenes representados en las figuras geométricas".

Lo que se refiere a Euler pertenece a otro orden de magnitud completamente diferente, aunque sólo fuera por lo que aportó al propio calculus en sus obras más emblemáticas hasta mutarlo en una nueva disciplina llamada análisis matemático. Contribuciones decisivas suyas se encuentran en la mecánica, el álgebra, el cálculo de variaciones y prácticamente en todas las disciplinas y subdisciplinas del universo matemático. Pero a pesar de la maestría técnica demostrada en su incansable y abundante quehacer, su reinado teórico fue efímero, siendo sustituído -de forma a veces rápida- como referente paradigmático por el más importante de sus continuadores, Joseph Louis Lagrange. Y en la mayoría de las ocasiones con su acuerdo.

Si se admite, por tanto, el protagonismo destacado de la comunidad matemática francesa de los tiempos de la Revolución y se transige en la estructura conceptual defendida por mí hasta aquí, podría aceptarse la denominación de paradigma francés para las matemáticas de este momento histórico. Mas he querido, en lo posible, huir de expresiones que puedan ayudar a excitar las bajas pasiones de corte nacionalista. Eliminada esa salida o hay que buscar una denominación conceptual e ideológica o personal. La primera, que podría ser fácil y expresiva, convendría bien a la época y a alguno de sus protagonistas y muy mal a otros. Esto siempre pasa cuando se buscan rótulos demasiado generales a determinados cortes históricos, hay flecos que no quedan recogidos bajo esa denominación. Tras este proceso de reflexión no queda más salida que elegir una denominación personal que, para no distorsionar la historia, debería adjudicarse a un francés. A la luz de las historias generales de las matemáticas y de las monografías sobre el tema, de la constelación de figuras eminentes de este periodo sobresalen tres: Lagrange, Laplace y Monge. Tres nombres sobradamente ilustres para caracterizar en el universo de las matemáticas cualquier realización concreta. Mas Monge, destacado organizador, gran profesor e imaginativo geómetra, no realizó obras de puesta a punto teórica de un conjunto significativo de ramas matemáticas. Laplace, sin contar aspectos excesivamente poco honorables de su biografía que empañan necesariamente su excepcional producción, tampoco es un sintetizador. En efecto, como ha señalado Dhombres, Laplace dispone de un programa metodológico para la investigación no estrictamente articulado, pero en el que se aprecia una referencia global. Este programa se estructura así(108):

  1. Posés par l'observation et l'inventaire du monde réel, il existe des problèmes qui sont supceptibles d'être mathématisés et donc qui peuvent être traités rigoureusement.
  2. Ces problèmes suscitent éventuellement la découverte des outils anlytiques perfectionnés permettant de les aborder d'une manière scientifiquement acceptable: autrement dit, le besoin d'explication analytique crée la fonction d'abstraction.
  3. Obtenues à des fins pratiques d'investigation scientifique, ces outils mathématiques présentent quasi nécessairement d'autres avantages que ceux initialement envisagés pour les forger: lorsqu'ils ont fait leurs preuves, il ne faut donc pas se contenter de les admirer, mais tenter de les utiliser systématiquement".

Por esta actitud, que Dhombres considera que representa una concepción rigurosamente organizada típica de la madurez de Laplace, la mayoría de las aportaciones matemáticas de Laplace quedaron inmersas en epígrafes aplicados, sobre todo en el terreno de la mecánica celeste y las probabilidades. Algo que él mismo expresaba en una carta a Lagrange en 1784 y que caracteriza muy bien el sentimiento general de los creadores de la época(109):

"L'on ne peut trop désirer que le domaine de la Géometrie s'étende. C'est dans cette vue que je me suis un peu livré à la Physique, et je ne désespère pas de déterminer quelques nouveaux objets physiques, assez bien pour y appliquer l'Analyse".

Laplace, el gran señor de la mecánica celeste y las probabilidades, disciplinas concretas de las que será un punto inexcusable de referencia durante varias décadas, difumina sin embargo sus concepciones generales sobre las matemáticas que, por el contrario, en Lagrange quedan perfectamente establecidas.

No es solamente Lagrange el autor de uno de los libros más emblemáticos del pensamiento del siglo XVIII, la Mécanique Analytique, es también -y eso le confiere un papel especial en la articulación del paradigma- el gran sintetizador de la doctrina en los años finales del siglo.

Quizás no esté de más añadir alguna reflexión adicional a esta imagen del agotamiento de las matemáticas. Los Dhombres(110) han aportado una cita de un autor que muchos analistas desearían quizás ver como letrero de uno de los momentos cruciales de las matemáticas; me refiero, claro está, a Augustin Louis Cauchy(111). Esta cita desbarata la hipótesis algo malintencionada de la supuesta depresión de Lagrange, ya que a los cuarenta y cinco años no puede pensarse en senilidad. El joven Cauchy, de veinte años, se expresaba de esta manera(112):

"Que dirais-je des sciences exactes: la plupart paraissent parvenues à leur plus haute période. L'arithmétique, la géométrie, l'algèbre, les mathématiques transcendantes sont des sciences que l'on peut regarder comme terminées, et il ne reste plus à faire que d'utiles applications".

Por tanto, la percepción de Lagrange tuvo que ser producto de un conocimiento precoz que estaba en el ambiente científico de la época; si no, es difícil de creer que un joven meritorio se atreviera a expresar, treinta años después de la carta de Lagrange a d'Alembert, tan categórico réquiem precisamente en una Academia, la de Cherbourg, quizás no tan plagada de sabios como la de Ciencias de París, pero en la que a buen seguro habría corresponsales directos de los científicos de la capital de Francia. Mas la feliz cita recogida por los Dhombres no sólo reafirma la aprensión de agotamiento, también sitúa a Cauchy en la estela de un paradigma concreto y de una forma de hacer matemáticas dirigidas hacia las útiles aplicaciones, enormemente expresiva del marco de referencia en el que se desarrolló la obra del geómetra de Arcueil(113).

Si algunos analistas analistas añoran a Cauchy, qué podría decirse del princeps mathematicorum, Carl Friedrich Gauss, que aparece como gran mentor cada vez que se ataca el problema de contar la historia de las matemáticas contemporáneas con las deformaciones típicas debidas a los no profesionales. La imagen de Gauss ha sufrido una de las más grotescas transformaciones por obra y gracia de la manipulación de una historia que se ha hecho más veces de las que se debiera para gusto y satisfacción de las ya mentadas bajas pasiones nacionalistas. No quiero enzarzarme en este momento en el dolor antiguo que soportan muchos historiadores alemanes y otros matemáticos ni alemanes ni historiadores que aprecian una inexistente postergación del profesor de Göttingen(114). La figura de Gauss ha sido históricamente manipulada para oponer falsamente los valores germanos a los franceses por una parte y para enfrentar a los partidarios del orden establecido que nos ha hecho -por mandatos divino o natural totalmente inmutables- a unos ricos y a otros pobres con el tono y aroma revolucionarios de las matemáticas galas de las Luces. Es justo y es verdad que las primeras y notables contribuciones matemáticas del niño y joven-prodigio Gauss, su tesis doctoral, su diario y sus Disquisiciones arithmeticae, revelan una forma distinta de escribir matemáticas que la vigente en aquellos años finales del XVIII. ¿Y qué? Los líderes de la comunidad matemática de aquel momento, casi todos residentes en París, no hicieron las matemáticas que hacían por no conocer los trabajos impresos de Gauss, sino porque tenían sus propias concepciones y marcaron su propio rumbo. En efecto, Bossut(115) escribe en su historia de las matemáticas:

"Enfin M. Gauss, fameux géomètre de Brunswick, a traité ce sujet [la teoría de los números] dans la plus grande étendue, et d'une manière originale, dans un ouvrage latin, intitulé: Disquisitiones arithmeticae, publié en 1802(116), et traduit en français en 1807, par M. Poulet de Lisle, savant professeur de mathématiques au lycée d'Orléans. On distingue principalement dans cet ouvrage la section VII, où l'auteur examine les propietés des équations qui déterminent les sections circulaires. On savait depuis longtemps diviser géométriquement la circonférence du cercle en divers nombres de parties égales, comme 3, 4, 5, 6, 10, etc. M. Gauss a trouvé, par la résolution des équations binômes, qu'on pouvait diviser de même la circonférence en un grand nombre d'autres parties égales, comme, par exemple, en 17, ce qui n'était pas connu".

Esta larga cita revela un conocimiento bastante detallado de la existencia y los méritos de un geómetra del que era difícil que se pudieran conocer las cosas que escribía en la soledad de su alcoba o que retuviera en su cabeza por temor al clamor de los beocios(117). Conocimiento y reconocimiento que para sí hubieran querido otros geómetras de expresión no francesa. Pero aún hay más. Ni su obra ni su brillante trayectoria profesional, en todo momento vinculada al Observatorio de Göttingen, se distinguieron precisamente de las pautas de aplicabilidad marcadas desde la Isla de Francia; ni el círculo de sus amistades y corresponsales científicos más próximos, como Bessel, Schumacher o Weber, revela una vocación estrictamente purista. Sólo su consideración del rigor y, como Cauchy, su derechismo(118) en política revelan un golpe de timón político en la evolución de las matemáticas. Además, la imagen de Gauss es la de un sabio aislado en el reducto de Göttingen y, en casos de aislamiento, o se es el oráculo -y para esto tenía serios competidores- o se tienen escasas posibilidades de convertirse en el líder que marque la evolución de los asuntos. Un testigo tan imparcial como Abel, indudablemente aventajado y quizás predispuesto a aceptar de buen grado los éxitos de la matemática germánica, señala al inicio de su viaje por Europa en 1826 que, en su opinión, la matemática alemana puede comenzar a conocer períodos más felices y añade que los jóvenes matemáticos berlineses adoran a Gauss, pero que el viaje a Göttingen, que posee una buena biblioteca, no vale la pena, porque Gauss está allí solo y además es absolutamente inabordable(119).

4.3. El Paradigma hilbertiano

Sin embargo, los grandes maestros y los modestos cultivadores tenían delante de sus ojos un mundo lleno de posibilidades. Como dice Perrin(120), al analizar la obra de Lebesgue en la compilación de Le Lionnais, la clave de la innovación siempre se encuentra en mirar las cosas viejas con ojos nuevos. Esa nueva forma de mirar los viejos enigmas aparentemente agotados hizo aparecer nuevos filones que, naturalmente, hubieron de explotarse en estratos de abstracción más profunda, por seguir con la analogía minera contenida en la carta de Lagrange a d'Alembert(121). La ruptura del paradigma lagrangiano se manifiesta en muy diversos campos y en un periodo bastante dilatado de tiempo que prácticamente llevó todo el siglo XIX. El agotamiento del paradigma procedía tanto del cúmulo de enigmas en los que se había llegado a una solución formal, que con los presupuestos teóricos del setecientos no daba más de sí, como de las cada vez más altas cotas de dificultad de los problemas históricos heredados del paradigma griego. Ya en el primer tercio del siglo XIX comienzan a plantearse problemas conflictivos para el paradigma lagrangiano que, andando el tiempo, turbarían poderosamente su estabilidad. Aquí se va a aludir a los más señalados. Pero antes de entrar en las quiebras internas de las matemáticas lagrangianas, conviene hacer una consideración en las variables sociales más arriba consideradas.

Las altas y honorables metas del paradigma griego no hicieron que, salvo históricas y contadas excepciones, como las de los cosmógrafos italianos, alemanes, portugueses o mallorquines(122), los centros de formación de interés militar(123) o el Gresham College(124), los estados creasen instituciones específicas de aprendizaje científico; a lo más que se llegó fue a propiciar el encuentro de los ya considerados sabios en entidades que, además de ciencia, pudieran otorgar, sobre todo, prestigio cortesano, como las academias del siglo XVII(125). Pero la vertiente pragmática de las matemáticas del paradigma lagrangiano sí que consiguió la institucionalización de su enseñanza, dirigida fundamentalmente al específico papel de formación de diversos tipos de técnicos civiles y, sobre todo, militares. Esto no es novedad. Las estructuras político-sociales a lo largo de la historia de la Humanidad, retomando la caracterización más arriba expuesta, nunca han invertido recursos económicos en la formación de poetas, hombres justos, sabios o santos; sin embargo, han mantenido siempre mecanismos de reproducción de técnicos calificadores de la calidad poética, sabiduría, santidad u hombría de bien de los demás. Las matemáticas no tenían por qué ser una excepción. Pero, al margen de esa digresión, la creación de instituciones de enseñanza supuso la generalización de la profesión de científico. Una vez pasados los fervores militantes de los periodos álgidos de crisis social, la ciencia se fue despojando paulatinamente de interpretaciones pragmáticas de interés político inmediato, por una parte, y por la otra, los científicos -y entre ellos los matemáticos que pudieron, aunque siempre en menor proporción- se fueron convirtiendo en simples profesionales que, salvo excepciones, encontraron un modus vivendi en la enseñanza, en la astronomía práctica o en laboratorios públicos o privados cuando las ciencias comenzaron a hacerse rentables(126), y se convirtieron en ciudadanos comunes clasificados como profesionales. Este aspecto se fue profundizando con el siglo, complementándose las instituciones científicas de prestigio con la aparición de las asociaciones para el progreso de las ciencias(127) primero y los avances institucionales de rango nacional o universitario después(128). Esto supuso en los países más avanzados en la disciplina el aumento de publicaciones estrictamente matemáticas(129) y, al final de la centuria, la aparición de la figura de la comunidad matemática internacional, plasmada en los congresos cuatrienales(130). Si del sabio clásico al militante del setecientos -fundamentalmente en sus años finales- hay más de un paso, de ambos al profesional de las postrimerías del siglo XIX hay un abismo.

Ello no obstante, no sobra volver a insistir en la idea de que las rupturas en matemáticas tienen un tono menos drástico que en otras disciplinas científicas y diferentes paradigmas coexisten a lo largo del tiempo más o menos pacíficamente. La casi genuina creación francesa del paradigma lagrangiano facilitó el despegue de estas concepciones, que se impregnaron de un fuerte tinte de afirmación nacionalista(131) cuando la situación lo requirió.

La relación nominal de aportaciones que supusieron rupturas concretas del paradigma lagrangiano sería muy larga, además de que se puede jalonar con la elección adecuada de los resultados señalados en las historias clásicas de las matemáticas. Creo que no sobrará insistir, no obstante, en que sólo desde la estrechez de miras deformadora de la realidad histórica se puede postular que la irrupción de una de estas rupturas en la literatura matemática significó el desmantelamiento del paradigma lagrangiano vigente. Por dos razones. La primera podría explicarse con un refrán: una cosa es predicar y otra dar trigo o, en otras palabras, una cosa es que un concepto o idea aparezca publicado y otra el momento en que este trabajo llega a y es aceptado por un número suficientemente amplio de profesionales. La segunda porque un sorprendente resultado en geometría o análisis no tiene una selección inmediata entre los elementos fundamentales definitorios de la matemática en un momento dado. Lo que se va a hacer a continuación es el señalamiento de los rasgos más ilustrativos de ruptura del paradigma anterior.

Weyl, posiblemente el más dilecto seguidor de Hilbert, señalaba en 1928 en su famoso libro Gruppentheorie und Quantum Mechanik algunos de los rasgos de ruptura con lo viejo y afirmación del nuevo modo de contemplar la matemática, diciendo(132):

"La mathématique occidentale n'a pas tant suivi au siècle précedent les conceptions grecques que les courants d'idées issus de l'Inde et diffusés par les Arabes: elle a en effet affirmé la priorité logique du concept de nombre par rapport à la géométrie. Il en est résulté que nous avons constamment entrepris l'étude des différents domaines de grandeurs avec un même et universel concept de nombre, élaboré de façon abstraite, indépendamment de toute application éventuelle. On peut dire par contre que nous assistons aujourd'hui en mathématiques à un renversement complet de points de vue; il nous apparaît en dernière analyse que la conception la plus profonde est la conception grecque selon laquelle tout domaine entraîne l'existence d'un sistême de nombres qui lui sont propre et le caractérise. Pour l'algébriste d'aujourd'hui, le continu des nombres réels ou des nombres complexes n'est plus qu'un corps, ou un corps antisymétrique parmi une infinité d'autres qui ont droit à la même considération (...) Les nouvelles recherches axiomatiques relatives en particulier aux fondéments de la géométrie projective forment le pendant géométrique de cette tendance. Toute cette nouvelle mathématique, celle de la théorie des groupes et des algèbres abstraites est animée d'un esprit nettement différent de celui de la mathématique classique, qui a trouvé dans la théorie des fonctions de variable complexe son plus haut épanouissement"(133).

Naturalmente, como todos hacemos nuestras cabriolas para llevar el agua a nuestro molino, Weyl y Lautman concluirán afirmando la unidad de las matemáticas y yo preferiré quedarme con sus apreciaciones sobre las netas diferencias.

Uno de los primeros enigmas que rompe con los moldes establecidos standard en todos los siglos anteriores de historia de las matemáticas es el de la resolución por radicales de la ecuación de quinto grado. Metodológicamente, el abordaje de Abel encierra dos aspectos fundamentales para la comprensión de la ciencia contemporánea. El primero es la actitud autofalseadora del matemático noruego, que de alguna forma diferencia a los grandes científicos de los aficionados porque, desde la existencia de las Academias, lo normal era que su primera versión sobre la resolución de la ecuación de quinto grado hubiera ido a una Academia, terminando, como alguien ha señalado, con la palabra ¡eureka! Pero al margen de esta actitud ejemplificadora, que en nuestros días ha inspirado una técnica de demarcación de calidades científicas, el resultado del proceso autofalseador no podía ser más insólito y sugerente. En efecto, a las metodologías tradicionales de demostración de proposiciones se añadía un nuevo camino representado por la demostración de la imposibilidad de llegar a una apetecida meta científica concreta. De hecho, los más señalados enigmas de la historia de las matemáticas, pendientes de resolución desde los albores del paradigma griego, iban a dejar de serlo por la vía metodológica señalada por el matemático noruego(134).

Otro aspecto de singular trascendencia que afecta a la estructura interna del paradigma en dominios instrumentales es el de la generalización de los campos habituales de expresión de las proposiciones matemáticas. La ampliación de los dominios geométricos o aritméticos de siempre a conjuntos de objetos sin caracterización específica supuso también una brecha en el marco paradigmático, que había permanecido inalterado desde los primeros momentos de afirmación del paradigma griego e incluso anteriormente. Las aportaciones que desde diferentes vías se hicieron en este aspecto por parte de Boole, Cantor, Du Bois-Reymond, Helmholtz y otros, junto a los caminos señalados por los trabajos de Cauchy y Galois desde perspectivas algebraicas, y por Kummer y Dedekind desde las numéricas, sentaron las bases para la elaboración de uno de los conceptos claves y más representativos de la matemática del siglo XX: la noción de estructura. Un cambio, más que quiebra, que viene representado por un proceso de reparación de la atolondrada construcción formalista de la teoría de funciones del paradigma lagrangiano y que se basa en la incorporación progresiva del rigor y coherencia internas que caracterizó las elaboraciones de los analistas del XIX a partir de Cauchy y, sobre todo, de la escuela de Weierstrass.

Sin embargo, a pesar de su entidad, estos planteamientos críticos quedan disminuidos ante el impacto significativo de las geometrías no euclídeas, tanto por su significación intrínseca como por sus implicaciones respecto a sus fundamentos y a su solidez arquitectónica. Las geometrías no euclídeas plantean, en su difícil proceso de implantación, dos problemas claros. El primero es el relativo a su incidencia en el concepto de espacio intuido en el que se desarrollan las especulaciones matemáticas. El hecho de la construcción de modelos geométricos ni visualizables en principio (los trabajos de Beltrami, Klein y Poincaré surgen a partir de 1868) ni imaginables de una forma factible ni relacionables con el espacio físico donde los objetos están y son, significa la ruptura definitiva con los modelos sensibles y la instalación en el paradigma intuido -pero aún no consagrado- de un marco totalmente abstracto y aparentemente despreocupado de su reflejo o de su referencia en el mundo material. Otras dos rupturas afectan también los esquemas geométricos del paradigma lagrangiano: la primera en el tiempo, anterior a la primera elaboración no euclidiana, es la visión proyectiva del espacio elaborada por Poncelet; la segunda, la aparición y manipulación de los espacios n-dimensionales.

Desde luego, son rupturas, pero en grado mucho menor que las representadas por los trabajos de Lobachevsky, Bolyai y Riemann. En primer lugar, porque los dos conceptos tienen antecedentes claros en trabajos de matemáticos del paradigma lagrangiano e incluso griego; en segundo lugar, porque la visión proyectiva de Poncelet no afecta lo más mínimo al concepto de espacio, aportando exclusivamente una técnica diferente de contemplar el mismo. La aparición del espacio n-dimensional, tan poco entusiásticamente aceptada en un principio, se hacía en un terreno preparado por la polémica en torno al espacio, desatada por la presencia de unas geometrías no verificables, en principio, en el espacio físico real intuido hasta entonces. También es preciso fijarse en otros detalles importantes de la transformación, como es el cambio de los materiales con los que se trabaja. Cavaillès, uno de los más lúcidos y rigurosos seguidores del paradigma hilbertiano, señala claramente este relativismo en la elección de los objetos a la hora de construir el gran desideratum profesional de la época, una matemática rigurosa(135):

"il n'y aura mathématique rigoureuse que lorsqu'on aura, par l'investigation même des procédés, défini le champ d'objects auxquels ils conviennent".

Como los procesos en la historia son convergentes, las distintas teorías se fueron entremezclando sucesivamente y se fue planteando de forma perentoria la exigencia de criterios claros sobre la cuestión de la Verdad en geometría. Este debate, el más singular de los desarrollados en el siglo XIX, conocido como la cuestión de los fundamentos, fue abordado y resuelto por Hilbert en el último año del siglo XIX. Por su entidad y significación respecto al paradigma que se había estado construyendo a lo largo de todo el siglo, he denominado hilbertiano al nuevo paradigma que surgió de la ruptura del lagrangiano. Pero hay más implicaciones de las cuestiones más arriba expuestas. El tema de la Verdad en geometría conducía a dos metas insoslayables de ruptura. La primera afectaba a los aspectos conceptuales internos, la segunda a los grandes y ennoblecedores objetivos de los dos paradigmas anteriormente descritos. En efecto, los griegos habían exigido a las proposiciones especiales cuya veracidad no había que probar el estatuto de la evidencia. Evidencia intuitiva y visual que, a pesar de algunos deslices de menor cuantía, había dado en general buenos resultados. La verdad de los desarrollos de Lobachevsky y Bolyai no podía ni intuirse ni visualizarse (antes de los esquemas de Beltrami, Klein y Poincaré, entre otros). De ahí que, en el conjunto de elementos básicos conceptuales, la evidencia intuitiva ya no podía ser baremo de veracidad. Hilbert, y con él la comunidad matemática internacional, adoptaron el criterio de sustituir la evidencia intuitiva de los axiomas por el libre albedrío del autor. El modo de producir matemáticas en el entorno de 1900 que se ensayó como modelo de desarrollo disciplinar y ejemplar fue por tanto el axiomático. Peano con la aritmética axiomática, Zermelo con la teoría axiomática de los conjuntos y el propio Hilbert con la geometría crearon un estilo que es cierto que no acabó con todos los francotiradores, pero que sentó las bases del desarrollo de un tipo de matemáticas para una buena temporada. En cuanto a la presentación, que puede aparentar algo de ironía por mi parte en lo referente al libre albedrío del autor, siento tener que decir que la ironía, si es que existe, está en Hilbert. Cuando en un texto programático que desarrolla los fundamentos de la geometría se declara que igual que de puntos, rectas y planos se podría hablar de sillas, mesas y jarras de cerveza, se está deslizando un modo muy peculiar y distinto de entender las matemáticas(136).

Es claro que este salto hacia adelante, que podía tranquilizar el trabajo interno de los matemáticos -protegido de las pesquisas sociales por el caparazón defensivo del esoterismo cada vez más palpable- y que justificaba las múltiples vías de desarrollo que las matemáticas podían tomar en función de la capacidad imaginativa de cada autor al romperse los rígidos corsés establecidos en los paradigmas anteriores, no podía dejar de tener agudas consecuencias en el quehacer profesional de los matemáticos. Porque la relativización del concepto de Verdad matemática a una categoría mucho más funcional y doméstica privaba a las matemáticas hilbertianas del empaque de dignificación que los pensadores griegos habían ganado para la ciencia príncipe, y también se sustraía la finalidad de utilidad pública objetiva preconizada en el Siglo de las Luces.

Lo agudo de esta posición crítica de las matemáticas que se estaban elaborando en el siglo XIX por las comunidades más avanzadas propició el gran debate polémico en torno a los objetivos científicos de la actuación matemática sobre la base de la cuestión del espacio. Dicho debate se fue extinguiendo con el tiempo, quedando como vencedores los rupturistas. De hecho, alguno de los participantes más destacados en la implantación del nuevo paradigma, como Bertrand Russell, no tuvo reparos en reconocer que, con los nuevos planteamientos

"mathematics is the subject in which we do not know what we are talking about nor whether or not what we are saying is true",

epigrama no refutado por incontestable y que piadosamente se interpreta sobre la base de las características abstractas y formales de las verdades matemáticas(137). Las crisis de las matemáticas del siglo XIX se puede decir que habían sido superadas por consenso al final del siglo, con la aceptación general del nuevo paradigma. Pero, como se ha planteado más arriba, esa aceptación llevaba consigo el reconocimiento de la pérdida de muchos rasgos positivos y honorables que la Humanidad había otorgado a las matemáticas desde los tiempos de la Grecia clásica.

La aceptación básica del paradigma hilbertiano por la mayor parte de la comunidad matemática internacional exigía una contrapartida, un contrapeso a los presupuestos teóricos expuestos. Fue el momento de acudir con necesidad a complementos teóricos que afirmasen el riguroso y etéreo continente matemático. La comunidad matemática no podía dejar su ciencia, que además era su trabajo, al descubierto ante un posible ataque exterior que exacerbase algunas de las características que señalaban la dudosa solidez de su verdad. Tampoco podía permitirse el lujo de subrayar objetivos netos de no utilidad, ante la posible crítica fácil, en un ambiente general de necesaria y optimista esperanza de progreso.

La solución ante esta problemática se consiguió por dos vías. Por una parte, a pesar de las protestas de unidad interna de las matemáticas promulgada por Hilbert en París en 1900, con la segregación explícita de las matemáticas llamadas aplicadas; por otra, con el establecimiento explícito de un tratamiento de síntesis, realizable bien a nivel histórico, bien a nivel filosófico.

En el famoso II Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en París en 1900, el joven Hilbert presentó la

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llamativa comunicación sobre los Problemas Futuros(138) y sentó las bases para el establecimiento de las interrelaciones entre las matemáticas y el conjunto del pensamiento científico. Hilbert arriesgó incluso la hipótesis de la evolución futura de las matemáticas, aunque le engañó su visión totalizadora. El planteamiento hacia el futuro comenzaba con un noble deseo, que Hilbert expresaba diciendo que la matemática era un todo único, un organismo cuya fuerza vital tiene por condición la indisolubilidad de sus partes(139). Era un primer presupuesto teórico para hacer viable el mantenimiento en el seno del paradigma de las figuras de los grandes científicos de la Edad Moderna. Observado desde un punto de vista objetivo y crítico, Hilbert impone el modelo de desarrollo futuro sobre la base del nuevo paradigma. Esto es coherente. Y es lo que más llamó la atención en la comunidad matemática internacional, a la que ahorró el trabajo de encontrar la expresión particularizada de veintitrés de los enigmas más sobresalientes de ese momento histórico. Enigmas que, en expresión hilbertiana, eran los fines particulares. El señalamiento expreso de la existencia de objetivos particulares indica la existencia de una finalidad general que Hilbert mantuvo oculta en su comunicación. La presentación de estos veintitrés asuntos concretos, con todo su enorme atractivo, propició asimismo que el tema de la unidad estructural en las matemáticas quedase escondido o por lo menos postergado.

La tesis hilbertiana de la unidad de las matemáticas le llevó a presentar su historia como una función continua y creciente. Hilbert necesitaba apoyarse en este postulado de continuidad histórica para poder extrapolar, dentro de un grafo suficientemente grueso, las líneas de desarrollo de los futuros fines particulares. Y lo exponía claramente:

"les grandes divisions du temps non seulement permettent de jeter un regard sur le passé, mais encore attirent notre pensée sur l'avenir inconnu"(140),

señalando que(141)

"l'histoire enseigne la continuité du développement de la Science".

Durante bastante tiempo ha sido la tesis triunfante e indiscutida. Por eso, cuando Lautman abordó en su tesis doctoral los problemas de la estructura y de la unidad en las matemáticas siguiendo pautas francesas -Cavaillès, Bourbaki-, críticas con lo que consideraban empirismo de Baire, Borel, Lebesgue o el convencionalismo de Poincaré, tenía, escrito sea con el mayor respeto para este filósofo trágico, clara la tesis de conclusión. A pesar de la lucha de contrarios (finito-infinito, local-global, discreto-continuo, algebra-análisis, etc.) las matemáticas contemporáneas revelaban sobre todo su unidad inquebrantable. Dieudonné, en el prefacio que escribió a los ensayos de Lautman, lo deja bien claro(142):

"[La] thèse de Lautman [est] consacrée à l'examen de ces oppositions, sur lesquelles sa position est voisine de celle de Hilbert, chez qui l'on trouve exprimée avec force la conviction qu'il ne s'agissait là que d'apparences superficielles masquant des parentées beaucoup plus profondes. Tout le développement des mathématiques depuis 1940 n'a fait que confirmer la justesse de cette position (...)".

El universo epistemológico en el que Hilbert se siente a gusto sugiere situaciones de transición, sin establecimiento de compromisos inviolables explícitos, pero apostando por formas concretas de desarrollo que esconden las finalidades fundamentales. La defensa explícita de la necesidad de situar la historiografía de las matemáticas en el paradigma hilbertiano corrió a cargo de Moritz Cantor(143), cuya intervención, con rango de conferencia general, trató del estado de esta disciplina en el umbral del siglo XX. Su concepción de la historia de las matemáticas corresponde a un esquema lineal de engarce acumulativo de los sucesivos descubrimientos y hallazgos. No hay rupturas, ni estancamientos, ni conflictos. Es más, por no haber no hay apenas referencias al universo aplicado de las matemáticas y ésa será una de las herencias claves del desarrollo de la disciplina durante la mayor parte del siglo XX. A diferencia de la visión inaugural de Montucla-Lalande, la práctica totalidad de las historias generales de las matemáticas del siglo XX han sido en realidad historias de las matemáticas puras, mutilación que ha permitido deformaciones teóricas de todo tipo a la hora de analizar la evolución histórica de la disciplina. Una historia, por tanto, que prácticamente se ha reducido al ámbito europeo. Gerdes lo ha expuesto con claridad(144):

"As historias dominantes da matematica sugerem que (quase) nao houve matemática fora da Europa, esquecendo de que a colonizaçao contribuu para a estagnaçao e eliminaçao de tradiçoes científicas nas Américas, Africa, Asia e Australia".

El hilo conductor que desde los albores de la historia llega hasta el II Congreso Internacional de Matemáticos no presenta solución alguna de continuidad, ni relación comprometida con ninguna situación ajena a las matemáticas. Esa lectura de la historia corresponde a un criterio firmemente anclado en el paradigma hilbertiano, reivindica el prestigio histórico acumulado en los paradigmas griego y lagrangiano, pero sin señalar porqué las matemáticas en esas épocas respectivas alcanzaron gloria y prestigio, con lo cual evita el tener que señalar ningún razonamiento analógico entre la producción matemática basada en el paradigma hilbertiano y la de los anteriores. La comunidad matemática internacional planteaba de esta forma el complemento necesario para sustentar el paradigma, complemento que explícitamente no había aparecido en los paradigmas griego y lagrangiano, en los que los objetivos de la actividad científica quedaban suficientemente claros.

El grado de desarrollo de las diferentes partes de las matemáticas y la experiencia acumulada a lo largo del siglo XIX habían forjado ya en la comunidad matemática la conciencia de que, si se quería que una determinada rama fructificase, había de institucionalizarse de alguna forma. Si Bernal(145) ha destacado claramente la influencia que el apoyo industrial ha tenido para la consolidación y desarrollo de algunas especialidades de las ciencias experimentales, Wussing ha señalado(146) un criterio claro de selección de las teorías matemáticas":

"De entre la infinidad de teorías concebibles construidas axiomáticamente, mediante acoplamiento histórico-social de reacción con el entorno humano, son seleccionadas aquéllas cuyo conjunto nosotros denominamos ciencia matemática. Y sólo han tenido y tienen -como demuestra la historia de las matemáticas- existencia, han permanecido y se mantienen vivas y fecundas aquellas teorías que bajo cualquier forma se orientan hacia problemas de la realidad objetiva".

En matemáticas, una de las fábricas está situada en la Universidad. Por eso, tras el establecimiento del marco general de síntesis del nuevo paradigma hecho en el Congreso de París, la comunidad matemática internacional tenía que definirse respecto de la situación de la historia de las matemáticas, contemplada como disciplina, en el cuadro docente de las universidades. Dicho pronunciamiento lo realizó el III Congreso Internacional de Matemáticos(147), reunido en Heidelberg en 1904.

En la sesión de clausura del Congreso, se votaron por unanimidad las siguientes resoluciones(148):

  1. "El III Congreso Internacional de los Matemáticos vota a favor de la creación de cátedras universitarias de Historia de la Matemática y de la introducción de nociones de historia de las ciencias en la enseñanza secundaria superior.
  2. El Congreso apoya el voto de la sección de historia, que tiende a la fundación de una asociación de los sabios que se dedican a la historia de las matemáticas.
  3. El Congreso expresa su más viva simpatía para los esfuerzos de los matemáticos que tienden a obtener en todas partes los medios indispensables a los estudios matemáticos en su forma moderna (número suficiente de cátedras, bibliotecas bien provistas, salas de dibujo, salas de trabajos prácticos, instalaciones para aparatos de proyección, colecciones de modelos, etc.) y emite el voto de que los gobiernos y las autoridades escolares den a los matemáticos el apoyo que necesitan".

Al margen de la crónica e inevitable añoranza de los medios solicitados por los matemáticos de comienzos de siglo (en la medida que la solicitud pueda dar idea de posibilidad de satisfacción) queda clara la voluntad de la comunidad matemática internacional de conceder una opción clara de existencia en el paradigma hilbertiano a la historia de las matemáticas, a sus excelencias y utilidades, con la ciencia normal que se sustentaba en dicho paradigma y para cuya demostración se necesitaba. La historia de las matemáticas aportaba además una caracterización singular a la propia ciencia que la ayudaba a distinguirse de las demás. Esto es, mientras las matemáticas seguían siendo desplazadas del punto central y preeminente del concepto de sabiduría, eran la única ciencia que podía enarbolar la bandera de su existencia al más alto nivel en más de dos milenios. Y no es menos interesante el hecho de que la reivindicación de la componente histórica del pensamiento matemático se hiciera en vísperas del año 1905, un año singular y premonitorio respecto de la proyección de futuro de las ideas que se habían forjado en las postrimerías del siglo XIX, sobre todo en el orden científico. Además del tantas veces citado trabajo pionero sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento de Einstein(149) en el que esbozó sus ideas nucleares sobre la teoría especial de la relatividad, dentro del territorio matemático surgían también una serie de aportaciones que recuerdan en cierta manera los debates, dudas, preocupaciones y remedios de dos siglos atrás sobre el cálculo y sus derivados, en torno a la teoría de conjuntos que emerge, llena de obstáculos teóricos, desde los cimientos de una nueva construcción del edificio matemático(150). Cavaillès lo señala claramente:

"La crise théorique déclenchée en 1905 ne fait qu'en embarrasser de restrictions et de scrupules les raisonnements sans arrêter leur puissance interne d'expansion".

Las dificultades serían afrontadas de forma similar a como recomendaban d'Alembert y Lagrange en su tiempo. Sobre esto Cavaillès sigue diciendo en 1938(151):

"Aujourd'hui restrictions et scrupules passent au second plan quoique le problème du fondement semble moins près que jamais d'une solution (...)".

Antes de entrar brevemente en consideraciones de infraestructura ideológica y en la reflexión sobre la primera gran crisis del paradigma hilbertiano, es preciso señalar un aspecto fundamental. La ruptura del concepto de espacio físico producida en el siglo XIX no fue caprichosa, sino necesaria. Necesaria para ampliar el campo de las investigaciones matemáticas y porque los enigmas que se estaban planteando desde los sucesivos paradigmas físicos necesitaban un tratamiento matemático para el que resultaban totalmente insuficientes los estrechos esquemas teóricos del supuesto espacio real único del paradigma lagrangiano.

Porque las especulaciones teóricas de los matemáticos del XIX -y en esto hay que recalcar la agudeza de Riemann, tras cuya obra todo fue diferente- consiguieron romper una forma ancestral de contemplar el espacio. Lo que es importantísimo para la ciencia contemporánea -y hay que ponerlo en el haber de los matemáticos- es que, al justificar lógicamente las imaginativas concepciones espaciales, al romper con la rutina, los matemáticos estaban dando a los científicos en general y a los físicos en particular la idea de la posible existencia de espacios naturales que no se ajustasen a los esquemas conceptuales del paradigma griego.

Ahora bien, es preciso señalar en este momento dos cuestiones que dan lugar a las reflexiones hasta aquí realizadas sobre el paradigma hilbertiano. En primer lugar, la plena conciencia de que las posiciones rupturistas de primera hora no tenían nada que ver con el espacio real o con diferentes formas de ver algunos espacios naturales (a pesar de la calidad y profundidad de algunas premoniciones geométricas, Lobachevsky llamó imaginaria a su geometría y Cayley, al referirse a su geometría n-dimensional, la denominó ideal). De ahí que se hiciera una abstracción consciente de la posible aplicación de las nuevas teorías. Por ello, cuando se instituyó el paradigma hilbertiano hubo de hacerse relativizando el concepto de verdad absoluta que los griegos habían reivindicado. La ruptura superpuesta a la dislocación del tradicional concepto de espacio es de un nivel más teórico y abstracto y afecta a la concepción constructiva de las matemáticas que, al contrario de lo que sucedía en el paradigma lagrangiano, ni se ven obligadas a servir a ninguna otra disciplina en concreto -como decía textualmente Bézout(152)- ni tienen que proceder sobre supuestos fenomenales dados. Las aportaciones geométricas del siglo XIX propiciaron de hecho el planteamiento de estos supuestos sobre la base de las ideas sugeridas tras consideraciones puramente abstractas. La segunda reflexión gravita en el hecho nuevo y necesariamente admitido de la necesidad de respetar la autonomía creativa de los matemáticos. Pero, como es lógico, este respeto relativiza mucho más el problema de la adecuación a la verdad, el de la posible adaptación fenomenal antes aludida y el de la posible utilidad de las matemáticas.

La orientación marcada por el Congreso de Heidelberg fue seguida, al parecer, con cierta puntualidad en las universidades en las que los estudios de matemáticas ocupaban un lugar de vanguardia. En Alemania, Francia, Rusia, Reino Unido, Italia y con más intensidad en los Estados Unidos de América se crearon algunas cátedras de historia de las matemáticas aunque, todo hay que decirlo, sin un fervor excepcional. Tampoco se descuidó institucionalmente la vertiente de las llamadas matemáticas aplicadas, que fueron objeto de diferentes valoraciones, siempre positivas, en el conjunto de los intereses matemáticos.

El paradigma afirmado por la comunidad matemática internacional en sus primeros congresos y que se ha visto funcionar, salvo algún sorprendente y natural sobresalto, en buena parte del siglo XX, se estableció sobre el criterio de compatibilizar las construcciones matemáticas con cualesquiera bases epistemológicas subjetivas. Los grandes y explícitos objetivos que los matemáticos habían otorgado a su trabajo podían coexistir con los de aquellos que, careciendo de objetivos extramatemáticos, no manifestaban más preocupación que la de resolver una sucesión de enigmas concretos de formulación interna y de aplicación interna. Desde el punto de vista de la fundamentación epistemológica el paradigma hilbertiano era de una gran permisividad. Su eslogan propagandístico hubiera podido ser Todo vale y, desde luego, sobre la base de ese paradigma se defendieron a lo largo del siglo posiciones matemáticas contrapuestas con resultados análogos; distintos autores de diferentes pensamientos y pareceres contrarios pretendían poner, según los casos, velas a Dios o al Diablo(153). En ese contexto, las matemáticas, si habían perdido el carácter platónico de ciencia príncipe, por lo menos pretendían situarse por encima de los intereses terrenales, haciéndose compatibles con todos. Nunca en la historia de la Humanidad como en ese estricto periodo de afirmación del paradigma hilbertiano los matemáticos se vieron más despreocupados y con menos complicaciones para trabajar en cualquier situación. En el cerrado universo matemático implantado por el paradigma hilbertiano todo era sosiego y las relaciones entre sus miembros de cooperación. Mas cuando parecía que las matemáticas estaban más por encima de la groseras influencias del mundo sensible, insoslayables acontecimientos históricos evidenciaron lo endeble de este soporte bien intencionado, pero erróneo.

5. Sic transit pax mathematicorum

Por desgracia o por suerte para las matemáticas -en esto es difícil definirse- el desarrollo de las ciencias no va a estar exento de tensiones y conflictos ni de incidencias externas entre las que la situación política dominante no es, lógicamente, insólita. Dhombres recuerda(154) cómo un autor tan adaptable a las diferentes situaciones que le tocó vivir como Lacroix reconocía abiertamente la influencia del mundo político en la actividad científica. En aquel momento, el de la Revolución Francesa, para bien. En otros, no tanto.

Las comunidades matemáticas francesa y alemana han compartido la línea de vanguardia creadora (en el periodo que estamos analizando) a lo largo del siglo XIX. Y si el paradigma lagrangiano responde a las realizaciones epistemológicas, teóricas y técnicas de la comunidad gala en un tremendo porcentaje, los mimbres del paradigma hilbertiano llevan el sello mayoritario de las aportaciones germanas. Las referencias más arriba expresadas sobre la situación emergida del consenso general de las primeras reuniones de la comunidad matemática en los primeros años del siglo se vieron seriamente afectadas por el estallido de la Primera Guerra Mundial (1914-18). Si alguien podía tener algún asomo de duda sobre las vinculaciones sociopolíticas de tipo local, el primer congreso celebrado tras la contienda se lo haría desvanacer totalmente. Naturalmente, la opinión sobre este episodio no es unánime y Jean Dieudonné considera(155), por ejemplo, que

"Après 1918, la France, dont la jeunesse scientifique a été saignée à blanc par l'hécatombe, va se replier sur elle-même pendant 10 ans".

Entre el 22 y el 30 de septiembre de 1920 se reunió en Estrasburgo un congreso matemático que no lleva número de orden correlativo con los anteriores(156). En esa reunión(157), si nada especial hubiera ocurrido se hubiera debido consagrar definitivamente y sin ambages el paradigma expuesto en París y Heidelberg en el primer lustro del siglo. Y, si ese paradigma hubiera sido consistente, no hubiera podido verse afectado -según su propia definición- por las eventualidades del mundo sensible. Sin embargo, una guerra es una guerra -y más si adquiere las trágicas dimensiones de la de 1914-18- y hace saltar las contradicciones internas o los planteamientos puerilmente bienintencionados de todas las posibles especulaciones intelectuales humanas. Y en esto las matemáticas tampoco tenían porqué ser una excepción. En el Congreso de Estrasburgo se reunieron doscientos matemáticos procedentes de 27 países(158).

Con relación a los anteriores encuentros internacionales algo serio había cambiado. Una somera reflexión sobre la participación cuantitativa en los Congresos de París, Heidelberg, Roma y Cambridge(159) indica que las matemáticas -y todavía más los matemáticos- distaban mucho de estar por encima del bien y del mal.

Las copiosas participaciones de encuentros anteriores se veían, tras la Guerra, profundamente mermadas. Los gobiernos tenían que empeñarse como primera tarea en la reconstrucción de cada país y, cuando se cultivaron las afirmaciones profesionales o propagandísticas postbélicas, procuraron que fueran del menor coste económico posible.

En tan sólo veinte años, desde el Congreso parisino en el que se alababan encomiásticamente los consejos que Hermite diera al joven Mittag-Leffler sobre la valía de los trabajos de Weierstrass(160) en plena guerra franco-prusiana, se había pulverizado el statu quo consensuado. Y el espejismo cantoriano de la universalidad del pensamiento matemático se hacía añicos ante la evidencia de que las matemáticas tenían vínculos geográficos. El propio Hilbert lo había reconocido en plena guerra en un párrafo un tanto críptico que admite diversas interpretaciones, si bien todas preocupantes:

"Una sociedad particular sólo puede desarrollarse saludablemente cuando también lo hacen los pueblos que le son vecinos. De manera análoga, el bienestar y el interés de los estados demandan no sólo el mantenimiento de un orden interno, sino también la existencia de un orden general en las relaciones entre ellos. Lo mismo ocurre en la ciencia"(161).

No es que la idea fuera nueva, lo que llamó y sigue llamando más la atención fue el hecho de reconocer que las matemáticas podían militar en diferentes frentes bélicos.

Pero hay que volver al Congreso de Estrasburgo. Los franceses se volcaron en un intento firme de que ningún participante echase en falta a ningún matemático vivo, del campo aliado, claro. Desaparecidos los monstruos sagrados de la matemática francesa de la transición, Hermite y Poincaré, la Presidencia de Honor le fue concedida a uno de sus más próximos contemporáneos, Camille Jordan. No obstante, la presidencia ejecutiva y el peso del Congreso a escala de protagonista lo llevó el líder de los matemáticos franceses de la postguerra: Emile Picard. El Bureau del Congreso lo completaban Dickson (Universidad de Chicago), Larmor (U. de Cambridge), Villat (U. de Estrasburgo), Norlund (U. de Lund), De la Vallée-Poussin (U. de Lovaina) y Volterra (U. de Roma) como vicepresidentes.

Koenigs desempeñaba la Secretaría General y los introductores de las Secciones eran Picard (Aritmética, Algebra, Análisis), Goursat (Geometría), Koenigs (Mecánica, Física Matemática, Matemáticas Aplicadas) y Villat (Cuestiones filosóficas, históricas, pedagógicas). No todos los países enviaron delegaciones oficiales, lo que da una cierta idea de la tensión existente. Tan sólo lo hicieron Bélgica, Checoslovaquia, Dinamarca, Estados Unidos, Francia, Grecia, Inglaterra, Italia, Japón, Noruega, Portugal y Suiza. Aunque algunos otros, como España, estuvieron inscritos colectivamente por medio de Academias(162) u otros organismos colectivos.

Para la aseveración del compromiso de las matemáticas hay una pieza maestra en la historia contemporánea, cuidadosamente dejada en el olvido por cuanto, a pesar de la fluidez literaria y de la calidad de la firma de Emile Picard, representa la ruptura fehaciente del liberalismo internista del paradigma hilbertiano.

Las alocuciones de Picard en el Congreso de Estrasburgo(163) apenas si ocupan seis páginas, pero son seis páginas que revelan claramente la primera fisura estructural en el paradigma. El discurso de la sesión de apertura comienza por fijar algunas ideas, por lo demás tópicas en los congresos científicos, pero que en 1920 llevaban una carga ideológica inexcusable. Picard engarza con el espíritu del progresista siglo XIX, aprovechando la reunión para resaltar el interés del gobierno francés por el progreso de las ciencias. En el Congreso de Estrasburgo, el estribillo que sistemáticamente se reproduce en cada reunión de saludar a la noble tierra de... adquiría un carácter especial. Porque en este caso particular la noble tierra era Alsacia que, como el propio Picard reconoce, se había convertido en un símbolo. La consabida retahíla de epítetos elogiosos a los profesionales que participan en congresos se ve enriquecida en Estrasburgo por expresiones laudatorias del tipo admirable conducta... en la guerra, la fe patriótica que ha contribuido a la victoria común e incluso, resalta Picard, las huellas gloriosas del heroísmo de los más jóvenes. Siempre en su misma alocución de la sesión de apertura, Picard utiliza la historia de la ciencia para mostrar las raíces francesas de Estrasburgo, resalta la estancia científica en la ciudad alsaciana de Sarrus, Arbogast y Pasteur e incluso relaciona los trabajos de este último sobre la hemiedría y la polarización rotatoria con la geometría. Y, tras esta introducción, Picard señala la necesidad de relación

"entre savants qui s'estiment et qui, sans aucune arrière-pensée, n'ont d'autre souci que le culte désintéressé de la verité".

Y añade que dicha relación es particularmente útil a los matemáticos

"qui ont parfois montré quelque tendance à s'isoler dans des parties très limitées de leur science",

pero esto no sería en principio más que una reflexión vaga de cualquier observador objetivo de la realidad. Donde aparece el primer contrapunto cualificado hacia la posición programática de la preguerra es cuando concluye rotundo:

"Non, la mathématique n'est pas la science étrange et mystérieuse que se représentent tant de gents; elle est une pièce esentielle dans l'édification de la philosophie naturelle"(164).

Y esta posición, que hay que señalar historiográficamente como nueva en el siglo XX, parte de raíces muy antiguas, como se puede corroborar por lo señalado en las definiciones de los paradigmas griego y lagrangiano. Pero además es una afirmación muy francesa, que hubieran suscrito con gusto y sin reservas toda una serie de ilustres geómetras del siglo XIX como Fourier, Hermite, Darboux o Poincaré entre otros. La afirmación de Picard tiene un cierto sabor de afirmación nacionalista, que se puede comprobar por la marcada preferencia a trabajar con elementos paradigmáticos autóctonos(165). Así, Picard, en su tácito planteamiento reivindicativo del paradigma lagrangiano(166), pero que no puede ignorar ni dejar de englobar los importantes hallazgos de la matemática del paradigma hilbertiano, insiste en su reflexión afirmando que lo que no es útil de la matemática, la que no se puede aplicar ya, es una consecuencia de la ignorancia del colectivo científico. Y para corroborar su tesis invoca por medio del argumento ejemplificador de la historia de la ciencia al espíritu de Lagrange (¡cómo no!), del que recoge una de sus más directas opiniones:

"Les matemáticas sont comme le porc, tout en est bon".

Picard termina su primera alocución al Congreso de Estrasburgo con una hipótesis de futuro, en la que resignadamente admite que siempre habrá entre los matemáticos incorregibles idealistas que

"semblables à la femme de l'Evangile, croiront avoir choisi la meilleure part en scrutant les propietés de l'espace, et en analysant dans ses coins les plus subtils l'idée de fonction elle ne leur sera pas ôtée".

Si el tono crítico del discurso de apertura es mesurado, debido a que el objeto de sus reflexiones públicas es la propia matemática, no ocurre lo mismo en el de clausura, en el que el tono es mucho más belicoso y directo. Es natural que puesto a decir cosas contundentes eligiera ese orden y que las expresiones más duras las reservase para el acto de clausura, cuando el congreso, habiendo concluido sus sesiones de trabajo, ya no corría peligro alguno. La clausura era el momento de lanzar tesis concretas no necesariamente moderadas.

El argumento básico del discurso de Picard establece que la búsqueda desinteresada de la verdad ha tomado partido y, por ello, hay que subrayar que en situaciones anteriores de enfrentamiento bélico no se habían roto los vínculos entre los sabios de los diferentes países en conflicto, pero en 1920 la situación es distinta. Citando las resoluciones de las Conferencias Inter-Académicas de los países aliados de los años 1918 y 1919, Picard señala(167):

"Des crimes sans nom vont laisser dans l'histoire des nations coupables une tache, que des signatures au bas d'un traité de paix ne sauraient laver".

Sobre esta tesis, Picard desprende lógicamente que hay que abandonar las asociaciones vigentes del periodo anterior y crear unas nuevas. Entonces cabe preguntarse: ¿dónde se quedan los etéreos y melifluos razonamientos que asignaban a las matemáticas una situación por encima del bien y del mal? Y cabe seguir preguntándose si lo que se había comprometido en los bandos en lucha eran los matemáticos, las matemáticas o ambas cosas. ¿Se refiere Picard al compromiso de las matemáticas -puras o aplicadas, puesto que todas valen- en el servicio de una causa político-militar concreta? Parece que sí. Más que una apariencia es una evidencia. Y el planteamiento no es de un matemático vulgar en una reunión vulgar. Picard es en 1920 uno de los profesionales con más autoridad en la comunidad matemática internacional -autoridad ganada en razón de sus descubrimientos matemáticos- y la reunión es un congreso matemático al más alto nivel. No se trata, pues, de reflexiones superfluas. Las alocuciones de Picard en el Congreso de Estrasburgo son una descarga contra la línea de flotación del paradigma hilbertiano, con las que defiende dos causas bien concretas: la primera, servir a su país; la segunda, terminar con la interesada e hipócrita relativización de las matemáticas etéreas. Y, por si quedara lugar a dudas, Picard sostiene que, como hombres, los sacerdotes de la ciencia de los números y la extensión -por utilizar una manida denominación- no están dispuestos a aislarse en una torre de marfil. Picard cerró el Congreso con una referencia concreta al rechazo de insoportables hegemonías en el terreno científico y confiando a los sucesores el cuidado de analizar el sincero arrepentimiento de aquellos que se habían excluido del concierto de las naciones civilizadas.

El Congreso de Estrasburgo significó, por sí mismo y por el complemento otorgado por las alocuciones de Picard, la pérdida de la inocencia de la matemática institucionalizada en los congresos de la primera década del siglo XX. Tras la reunión de Estrasburgo, y aunque no se hiciera excesiva referencia a ello, la producción matemática podía ponerse al servicio de una causa tan antiplatónica, en principio, como la guerra o la política y, sin lugar a dudas, la importancia de las investigaciones trascendía, aunque no todo el mundo se diera cuenta de ello, al pretendido cerrado contexto de la matemática del paradigma hilbertiano.

Esta presentación un tanto negativa de la evolución de las matemáticas en el primer tramo del siglo XX, con el colofón en la reunión de Estrasburgo, ha incitado a algunas personas que me han escuchado en ocasiones a replicarme con alguna imagen de unidad inmediata en el mismo terreno. Y, para ello, nada mejor que traer a colación el Congreso de Bolonia de 1928, en el que se dice que se volvió a sellar la unidad y en el que Hilbert volvió a recuperar el protagonismo con la presentación de otro impactante trabajo suyo también relacionado con sus concepciones más generales sobre las matemáticas. A mi modo de ver el Congreso de Bolonia responde a una idea muy particular de unidad propiciada por la vigencia del fascismo en Italia, existencia nada disimulada, sino todo lo contrario, y en cuyo ámbito las lacras condenadas como resultado de la guerra vuelven a campar con una altivez creciente -como la propia historia europea se encargó de demostrar a la vuelta de cinco años-. Sobre su significado, y aparte de las conclusiones personales que haya podido extraer, quiero presentar alguna impresión más general, como pueda ser la planteada, sin firma y por lo tanto de responsabilidad más amplia, en la revista oficial de la comunidad matemática española, la Revista Matemática Hispano-Americana(168).

El Congreso de Bolonia, VIII de los internacionales de matemáticos que iniciaron su andadura en Zurich en 1897, tuvo un eco notable por causa de ser un punto de encuentro en un momento, la semana del 3 al 10 de septiembre de 1928, en el que las tensiones de todos los órdenes en el continente europeo eran palpables. El anónimo y colectivo firmante de la crónica postcongresual no dudó a la hora de valorar como la nota saliente de la convocatoria no ningún sorprendente resultado, conferencia o exposición, sino un factor harto externalista(169):

"la presencia de gran número de matemáticos de Alemania y naciones a ella aliadas en la guerra última".

Este hecho no era resultado de consideraciones derivadas de los evidentes méritos internos de los matemáticos germanos en las ciencias matemáticas, sino de largas negociaciones previas, que supusieron, entre otras cosas, que el Congreso no fuera organizado por la Unión Matemática Internacional, como era preceptivo, sino por la Universidad de Bolonia, con lo que desaparecían las trabas relativas a la nacionalidad de los congresistas. En dichas negociaciones tuvo un importante papel Pincherle, Presidente del Comité Organizador del Congreso. Este singular congreso contó con una florida sesión inaugural en la que un elenco verdaderamente notable de personalidades(170) de la vida pública acompañaron a Pincherle. Fue el Podestá quien saludó a los participantes en nombre de Bolonia fascista y quien pidió a los matemáticos que

"contribuyeran a deshacer la atmósfera que contra el fascismo [habían] formado algunos italianos en el extranjero"(171).

Saludo que fue amplificado por el Ministro de Instrucción Pública en nombre del gobierno fascista quien, con crudeza, trasmitió(172) una extendida y muy repetida idea sobre el concepto que algunos tienen de las matemáticas, según la cual la ciencia es aristocracia y la ciencia matemática es aristocracia entre la aristocracia que debe trabajar lejos de la multitud.

A juzgar por la impresión del anónimo cronista la comunidad matemática del año 1928 fue sensible a este tipo de soflamas, porque tanto las negociaciones mediante las que se saltaron a la torera los estatutos de la Unión Matemática Internacional como las palabras del ministro fascista fueron muy aplaudidas(173).

Hilbert pronunció una de las conferencias generales sobre los problemas de la lógica matemática que también despertó expectación y seguimiento, aunque su impacto en la comunidad matemática haya sido indudablemente menor que el de la de los problemas futuros de las matemáticas que había leído veintiocho años antes en París.

Una última consideración sobre la vigencia del paradigma hilbertiano vendría de su confrontación con la realidad vivida en los países emergentes del tercer mundo en fechas posteriores a la Segunda Guerra Mundial. Paulus Gerdes, siguiendo un sendero por el que camina un nutrido conjunto de matemáticos críticos(174), enuncia con rotundidad(175) uno de los problemas más evidentes que ha tenido, en la segunda mitad del siglo XX, el marco programático de referencia universal:

"Os fracassos da introduçao da Nova Matematica nos países do Terceiro Mundo obrigaram a uma reflexao profunda".

Este enunciado y esa reflexión profunda, que se extiende a territorios concretos del primer mundo, permitiría caracterizar la matemática sacralizada en el primer tercio del presente siglo con atributos tan precisos como el imperialismo y el colonialismo o, como mínimo, con la aspiración indisimulada de dominación de la mayoría del planeta por parte de una minoría que como exponente de su distinción podría exhibir una incontestable superioridad en una ciencia tan objetiva como las matemáticas. Esta realidad, evidente en términos planetarios, se hace también patente dentro de los propios países más ricos, donde las matemáticas juegan un papel primordial en la selección de élites, proceso en el que han sustituído a las lenguas clásicas.

6. El problema de la modernidad

Ya he hecho referencia anterior a la justificación de Bézout, copiada por Bails, sobre las peculiares relaciones de dependencia de las matemáticas puras y las matemáticas mixtas en el siglo XVIII. Las primeras se hacían para desarrollar las segundas, más próximas al bienestar de los mortales y, por lo tanto, de reclamo más consistente que las especulaciones puramente teóricas. Con riesgo de ser tildado de sustentar una concepción obsoleta, por remontarme, como ejemplo analógico, a dos siglos atrás, debo declarar que también mi pensamiento me incita constantemente a considerar si los elementos teóricos que pueda elaborar tras un proceso de reflexión sirven para algo más que para satisfacer mi personal egolatría.

Si he gastado mi tiempo en estructurar este modelo ha sido, como he señalado hace muchas páginas, para poder estudiar con un mínimo rigor un problema recurrente de la historiografía matemática -y no sólo matemática- española: el problema de la modernidad de su producción.

España es un curioso país en el que, a pesar de que vox populi se considera que ha tenido una producción científica bastante limitada a lo largo de la historia, se ha generado una Polémica sobre este tema caracterizada por una notable irritación e irascibilidad de los contrincantes. Principalmente los sucesos intelectuales del último cuarto del siglo XIX(176) giraron en torno a los méritos -evidentes, nulos o dudosos, según quien los considerara- de los matemáticos españoles desde el siglo XVI. Y en el análisis de esos méritos emergió como una amenaza que se cernía sobre cualquier autor u obra una pregunta concreta: la pregunta de la modernidad. Esto es: dada una obra y un autor se imponía como primera y, por los hechos, única cuestión a dilucidar si aquella era moderna o no. Naturalmente había que definir lo que era o no moderno, cuestión en la que se gastó algún tiempo, porque los primeros contendientes o no eran científicos o no eran historiadores, oponiéndose generalmente como argumento listados más o menos largos de autores y obras, en un caso españolas y en el otro no españolas(177). Con semejante artillería conceptual no es extraño que la querella se hiciera enormemente larga y diera ocasión a intervenir a personas potencialmente interesadas de varias generaciones y de variada condición profesional. Así, si la polémica se inició con presencia preferente de polígrafos formados en el campo de las humanidades académicas más tradicionales y alguna incursión, punzante y breve, desde la tribuna de la Academia de Ciencias, en el entorno del cambio del siglo los científicos aparecen en varios escenarios dando su opinión más extendida y supuestamente más experta.

Por la parte crítica, el primero en enarbolar la bandera de las listas de autoridades extrajeras fue el ingeniero, político y Premio Nobel de Literatura, José de Echegaray, que aprovechó su discurso de entrada en la Academia de Ciencias para asentar su posición(178). Con el retorno de los Borbones al trono de España en 1875 en la persona de Alfonso XII, los tintes se suavizaron un tanto y las estridencias del momento prerrevolucionario se intentaron matizar. Son conocidos como puntos de referencia sistemáticamente recurrentes dos famosos trabajos, el del ingeniero y catedrático de la Universidad Central Gumersindo Vicuña(179) y el de quien a la vuelta de un cuarto de siglo sería el primer Premio Nobel español de Medicina, Santiago Ramón y Cajal(180). En este momento histórico, la Restauración, fue cuando las posiciones tradicionalistas, una vez pasado el susto del Sexenio Revolucionario (1868-74) pasaron a la carga. En matemáticas el tema de los listados de libros españoles correspondió a Menéndez y Pelayo -que trabajó en el tema durante una década- entre los polígrafos(181) y casi al final de siglo al catedrático del Instituto Cardenal Cisneros de Madrid, Acisclo Fernández-Vallín -que dedicó su trabajo al siglo XVI-, entre los matemáticos(182). Por supuesto la lista es mucho más larga y las referencias a la polémica sobre la ciencia española son omnipresentes en el abanico de publicaciones científicas, técnicas e incluso de información general en toda esta época.

Lo más álgido del enfrentamiento vino tras dos décadas de un relativo intento de acometer el problema de la historia de las matemáticas con modestia y con una cierta objetividad, a veces un poco hagiográfica, pero que aspiraba a presentar tal cuales eran los hitos del pasado matemático español. Bien es verdad que el impacto intelectual que supuso la pérdida de las últimas colonias americanas (Cuba y Puerto Rico) y asiáticas (Filipinas) templó en buena medida los altisonantes recordatorios de pasadas grandezas imperiales e incitó a los espíritus más conscientes a mirar hacia dentro del país y a contar con herramientas como el trabajo para regenerar el decadente y atrasado rumbo iniciado a comienzos del siglo XIX. Y así estaban las cosas cuando apareció en escena un joven brillante que en un período de tiempo significativamente breve no sólo alcanzó el último peldaño del escalafón profesional sino que era catedrático de Madrid antes de cumplir los veinticinco años. Se trata de Julio Rey Pastor, que al ser encargado de preparar el discurso inaugural del curso académico 1912-13 de la Universidad de Oviedo, a cuyo claustro acababa de acceder, quiso poner el punto final a la controversia sobre los méritos científicos de los matemáticos del llamado Siglo de Oro español. Preparó el discurso pero, en un gesto premonitorio de lo que sería su vida profesional, ni se molestó en ir a Oviedo a leerlo y se lo encargó a otro colega. Tres años más tarde, y con motivo de pronunciar el discurso inaugural de la Sección de Ciencias Matemáticas del V Congreso de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias, quiso también señalar el lamentable estado en que había encontrado la matemática española cuando él había llegado a la profesión. Estos dos discursos(183) marcan un hito en el debate del problema de la modernidad de la ciencia en España. Sobre ambos trabajos de Rey Pastor hay ya una pequeña literatura monográfica(184), tanto desde la perspectiva hagiográfica lisa y llana que da por bueno todo lo que dijo este geómetra, como de la perspectiva crítica, que da por bueno lo que entiende por bueno, por criticable negativamente lo que parece negativo y, sobre todo, no pretende hacer oficio a base de vestir santos con prendas que no les acompañan.

La tesis de Rey Pastor en ambas piezas literarias es fácil de retener. En lo tocante al siglo XVI, y en general a todas las obras de matemática española de la Edad Moderna, se limita a elegir algunas que considera claves -paradigmáticas, deberíamos decir aquí- y comprueba su seguimiento en los textos hispanos inmediatamente posteriores cronológicamente, a los que dirige su implacable ojo crítico. Si ni en la cubierta del libro, en su cabecera o en el índice aparecen rastros evidentes de haber caminado detrás de Pacioli, de Cardano, de Vieta o de quien corresponda, el libro en cuestión es arrojado, sin más preámbulos, a la basura de la historia con el estigma de haber nacido carente de modernidad. En lo que respecta a la época contemporánea, el siglo XIX, el planteamiento consiste en elegir una serie de teorías elaboradas en esa época y patroneadas por sonoros nombres -Cauchy, Riemann, Weierstrass- y afirmar que en España se ignoran. Tanta tosquedad procedimental y semejante falta de profesionalidad, ya que no tuvo tiempo de leer -ni siquiera con ligereza- los textos renacentistas -algunos escritos en latín retórico- y del siglo XIX lo que sabía era de oído, le obligaron a corregirse en las varias ocasiones en que volvió sobre el tema y a recibir críticas, a veces ácidas(185), sobre sus apreciaciones de otros historiadores más prudentes. Por supuesto, la matemática era planta rara que crecía en el limbo social, sin ningún vínculo de relación con cualquier cosa que le fuera ajena.

No es el momento ni el tema de entrar en la disección de esta argumentación, por otra parte nada exótica en el mundo de los matemáticos que se meten a historiadores. En el seno de esta disciplina ha sido bastante usual proceder a reducir el territorio para simplificar el campo de investigación. La vía de trabajo, ya lo he señalado antes, se ha basado en la búsqueda del genio -si pertenecía a uno de los siete países más ricos del mundo, el famoso G7, mejor- para, sobre la base cimentadora del trabajo de algunas docenas de matemáticos de los veinticinco últimos siglos, construir el prodigioso edificio de la matemática de todos los tiempos. Con esta política se matan literalmente de hecho dos molestos pájaros de la historia. Por una parte toda la ciencia colectiva, la matemática sin autor intuible, el fondo cultural de las diferentes civilizaciones y de los diferentes medios étnicos. Por otra pueden marginarse todos aquellos geómetras que no hicieron nada genial en sus vidas profesionales. Esta concepción, más extendida de lo que sería de desear, es, además de históricamente suicida para muchos de sus sostenedores, por un lado, incorrecta y por el otro, falsa.

Lo incorrecto del planteamiento tiene dos facetas bastante claras que proceden de una transgresión conceptual también bastante habitual. Se trata de la trasposición -elija el lector si mecánica o simplemente irreflexiva- de los criterios y valores actuales a épocas suficientemente alejadas en el tiempo y en el espacio(186) que da como resultado distorsiones del objeto y de su entorno completamente deformadoras. Esta transposición(187), normalmente criticada y por lo tanto normalmente advertida, es más usual de lo que la buena teoría de la historia recomienda sobre todo en dos campos concretos, el de la valoración de las obras en sí, en sus coordenadas adecuadas, y el de las comunicaciones. Las sucesivas historias de las matemáticas, desde que en el siglo XVIII se comenzó a intentar reconstruir el hilo evolutivo de los acontecimientos, han ido produciendo un sucesivo precipitado histórico de obras maestras, importantes, singulares, destacadas, meritorias, y un largo etcétera. Confrontar cualquier otro trabajo con alguna de esta piezas supone pasar por encima de dos condicionantes no por evidentes menos olvidados.

La primera distorsión del objeto proviene de la adjudicación del carácter de obra de relevancia general en el mismo momento de su edición y, con ello, de la elección como modelo y testigo de comparación contemporánea. Sólo en el caso de corroboración de teorías asimiladas intuitivamente sería válida esta posición, como sucedió, por ejemplo, con los desarrollos del newtonianismo una vez que éste se aceptó como referente exento de impiedad(188). Pero cuando se trata de alumbrar nuevas ideas, aun en el caso de libros que hayan tenido aceptable difusión y pasando por alto a su vez otras barreras técnicas, como las de la torre de babel lingüística, la aceptación por parte de la comunidad lleva un tiempo más o menos largo para proceder a su digestión. Obras relativas a aspectos importantes, de las que se hacen esperar, como los trabajos de Cauchy de la década de los veinte sobre cálculo infinitesimal(189), por no hablar del particular viacrucis de George Cantor(190) con la formulación abstracta de conjuntos, tardaron bastante en ser asumidas como referentes básicos por la generalidad de los matemáticos, incluidos autores bien eminentes. En el caso de Cauchy podría poner varios ejemplos. Quizás el más elocuente sea la persistente pervivencia en Francia y otros muchos países de los tratados de cálculo de Lacroix(191) a pesar del pretendido impacto del riguroso planteamiento programático de Cauchy y abstracción hecha de la muy razonable apreciación de la falta de originalidad de Lacroix(192). Otro ejemplo significativo podría venir de la presentación que un académico, en su época prestigioso, como Joseph Bertrand -por más que el tiempo haya pasado por encima de su figura con una cierta dureza- hacía a propósito de las notas de la tercera edición de la Mécanique Analytique de Lagrange(193):

"En lisant les notes très courtes placées au bas des pages, on verra cependant qu'un assez grand nombre d'inadvertances subsistaient dans la deuxième édition. J'ai cru devoir les signaler. Mais cette critique minutieuse, qui porte parfois sur le sens d'un mot ou sur quelques termes d'une formule, n'implique dans aucun cas l'idée d'une opinion opposée à celle de Lagrange, et que j'autais la hardiesse de proposer au lecteur"(194).

No habría más que recordar la cita sobre la opinión de Lagrange sobre los infinitamente pequeños, que he recogido al tratar del paradigma al que he adjudicado su nombre, y retener el ejemplo que hemos puesto del libro de Cauchy, un compañero de corporación todavía vivo, por otra parte, para convenir que la asimilación de obras relevantes no es automática ni siquiera para los miembros de las instituciones científicas más al día. En lo que respecta al caso de Cantor, no creo que haya alguien que se atreva a considerar a Kronecker matemático mediocre medido en las unidades de referencia que se quiera. Estas ideas no quieren ser más que un apunte que podría extenderse muchísimo más y que corroborarían mi aserto de que las obras verdaderamente definitivas de la historia de las matemáticas son merecedoras de tal denominación muchos años después de ser escritas. Por lo tanto, ponerlas como elemento comparativo en los análisis de terceros es una transgresión incorrecta.

La segunda de las posiciones distorsionadoras proviene de una cuestión tan elemental como los problemas técnicos de las comunicaciones. Ni siquiera ahora, momento en el que, según todos los analistas, estamos viviendo una revolución en los sistemas de comunicación -ya que las revoluciones vinculadas al mundo del dinero son siempre las que mejor se aceptan- la recepción y aplauso masivo de y sobre temas científicos en ámbitos suficientemente informados es automática. Ahora, a pesar de los artefactos técnicos que nos facilitan mucho más la tarea -donde los hay- también se tarda en recibir información valiosa por las más diversas razones. Con todo, aplicar esquemas de nuestro tiempo, o simplemente desde que se generalizara el sistema de correos por timbre postal, a cualquier otro momento de la historia es una falacia considerable. La comunicación en la ciencia ha sido siempre un problema de primer orden, ya que la difusión de los libros científicos desde la aparición de la imprenta no ha tenido en todo momento canales diáfanos. Eso, cuando la ciencia ha usado como vehículo el libro impreso, lo que no siempre ha ocurrido, o se ha expresado en lengua aceptada como asequible en la comunidad científica. El problema de la comunicación ha sido una condición de dificultad importante(195) a lo largo de la historia que hay que tener presente a la hora de juzgar el nivel informativo de algún autor. ¿Qué proceso pudieron llevar los impresos de Regiomontano, la Summa de Pacioli, los libros góticos del XVI o los textos del XVII a la hora de servir de partitura obligada para la adscripción de la modernidad? Si en el siglo XIX hay casos tan flagrantes como los de Galois o Bolzano, que conocemos bien porque encajan perfectamente en el modelo matemático adoptado en los dos primeros tercios del siglo XX, qué otros silencios han podido existir realmente en la historia y que nosotros, en nuestra prepotencia informativa, pasamos olímpicamente por alto? En el problema de la comunicación hay un maniqueísmo deformador a veces irritante(196).

La solución de este enfoque deformador del análisis histórico debe pasar por tener en cuenta un tiempo de espera para el conocimiento y valoración de toda la producción matemática que se acepta como punto de referencia por la generalidad de los presuntamente implicados en su mantenimiento y desarrollo, factor que debe condicionar el juicio que se vierta sobre una determinada obra.

Mas he afirmado que además esta concepción de la historia de las matemáticas es falsa, aserto un poco fuerte, ya que puede aplicarse a buen número de las historias generales de las matemáticas que se han escrito. Por eso requiere una explicación cuidadosa. Es falsa porque no responde a la realidad. Las matemáticas, hasta el primer tercio del siglo XX, insisto, no pueden considerarse un ejercicio intelectual de unas pocas docenas de genios que, a veces en sus ratos libres, han enriquecido el acervo cultural de la humanidad con algunas brillantes aportaciones. Sé, por supuesto, perfectamente, que el oficio de o la afición por las matemáticas no han sido un elemento perturbador de masas que haya desatado pasiones en las amplias mayorías de los pueblos. Las matemáticas sólo reúnen masas ahora, gracias al desarrollo de los sistemas educativos en la mayoría de los países del mundo, aunque todas esas dignísimas personas no hayan sido matemáticos para profesionales como Dieudonné. Sé que en la antigüedad los hombres libres que tenían recursos económicos y rareza social como para dedicarse a este menester debieron ser forzosamente escasos, y me imagino que en la Edad Media no hubo de haber multitudes que se dedicaran a trabajar en un área de conocimiento extraña dentro de un campo de saberes en principio hostil, a pesar de que fuera demostrando progresivamente su utilidad para ir resolviendo problemas de la vida cotidiana. Lo que ya me resulta más difícil de encajar es que, a partir del Renacimiento, en el que la vida cotidiana se complica lo suficiente(197) como para demandar expertos que entiendan de los asuntos matemáticos y que éstos enseñen e incluso escriban sobre ellos, se siga defendiendo un estatuto exageradamente minoritario. No creo que sea correcto gasear intelectualmente a la inmensa mayoría de matemáticos de todos los tiempos simplemente porque no han sido genios. La mayoría, a su vez, de los matemáticos que en la Edad Contemporánea han adoptado y adoptan esta posición, Rey Pastor incluido(198), tampoco lo han sido, ni lo son, ni lo serán, y aquí es donde encaja la tesis de la concepción suicida: si un profesional de las matemáticas considera que esta disciplina es sólo asunto de genios y él/ella, habiéndose preparado para ello, advierte que no lo es, si es intelectualmente honrado/a, no le queda más camino que la inmolación.

La actividad matemática, especialmente desde el siglo XVIII, es asunto de una comunidad progresivamente numerosa en la que, como en las constelaciones del firmamento, hay estrellas de todas las magnitudes y todas cumplen su función iluminadora. Condenar al infierno de la indiferencia o del olvido a los autores que cada generación resumen y ponen a disposición de sus conciudadanos los avances de esta ciencia con honestidad y modestia ni responde a la realidad -por eso es un enfoque falso- ni es decente. Y esa comunidad, en casi todos los países, se ha movido intelectualmente más lentamente que la vanguardia de los creadores más activos. Esa comunidad adopta o rechaza miembros en función de categorías más planas -como antítesis a saberes de punta- que las avanzadillas de los más listos.

Además está el escalafón. Si las personas no son iguales tampoco los países son iguales. En cada momento de la historia puede haber un primero, un quinto y un séptimo. Uno de los defectos en que muchos podrían escarmentar en cabeza ajena -en este caso española- es que a la larga no conduce a ninguna parte la obsesión por ser el primero en todo y siempre. Es imposible y frustrante. No es ánimo de aplanar la historia para permitir la entrada en ella de las masas de menos dotados intelectualmente para el oficio de matemático, sino de reconstruir la historia real de las matemáticas contando con las condiciones iniciales y de contorno también reales. Lo realizado hasta ahora sólo indica que la historia de las matemáticas está todavía a un nivel bastante bajo en el que sólo ha habido tiempo de estudiar algunas de las grandes luminarias del firmamento matemático, faltan todavía muchas de primera magnitud y casi todas las restantes. Un último apunte sobre el particular: quien esto escribe considera que los genios no surgen de la nada. A condiciones personales excepcionales se han unido, en cada caso, cuadros ambientales de soporte que han favorecido decisivamente la producción y difusión de las realizaciones más destacadas. La perspectiva global y omnicomprensiva de todos los elementos debe resultar enriquecedora de los análisis y síntesis que se lleven a cabo sobre el hecho matemático en cada momento de la historia.

Concluyendo, no me parece convincente la metodología que se restringe a analizar las más brillantes obras de los más prodigiosos autores para enjuiciar la construcción de la ciencia y para valorar al resto. Si ese criterio hubiera sido el efectivo en la situación cotidiana de la ciencia, muchos de los que se han reclamado y reclaman científicos se verían privados de esa categoría y les dolería ser tenidos por escoria.

Por eso propongo un cambio drástico en la consideración de la valoración de las producciones matemáticas, que sería trasladable a otros campos de la ciencia con ciertas modificaciones. Es cierto que con el modelo que voy a exponer a continuación aún quedaría un fleco para mí difícil de encajar, el de los elementos autóctonos, propios de cada cultura y civilización local, que en definitiva son también un elemento más de modernidad por la vía de adaptación al medio(199) de cada sistema científico, toda vez que para mí el pensamiento científico es una componente inexcusable de la cultura de los pueblos, por más que haya protagonistas que se obstinen en escaparse de sus raíces. El rotundo cambio que propongo no tiene por objeto enjuiciar valores absolutos, ya que está por ver si se conserva el teorema de Bolzano-Weierstrass en compactos definidos por intervalos cronológicos de historia humana e incluso si la función producción científica es continua, sino elegir como punto de referencia lo que responde a lo que el buen sentido ha decantado como positivo en la evolución humana: los rendimientos medios, que a la larga es lo que marca el progreso positivo de las civilizaciones, de las economías y de las políticas. La experiencia histórica del siglo XX será muy ilustrativa respecto al hecho de que son precisamente este tipo de políticas de conservación de la media las que mejor protegen la posibilidad de situaciones singulares excepcionales(200) y son además las que no producen daños irreparables a los que, queriendo escalar hasta los primeros peldaños de la escala, fracasan en el intento.

El propio sistema científico ha tomado en consideración muchas veces el criterio de la valoración de los rendimientos medios como aspecto positivo de mayor calado para el enjuiciamiento de los procesos de todo orden que definen o explican situaciones cambiantes en el tiempo. Siempre he recordado el impacto que me produjo la lectura, en el libro de Samuel Lilley(201) Hombres, máquinas e Historia, de la reflexión comparativa entre el mundo clásico y el medieval que, desde la perspectiva de nuestra época, se presentan, en muchas ocasiones, homologados, cuando no -como en el caso de las matemáticas- en evolución negativa. Lilley razona así en el tema de la comparación entre los dos estadios históricos(202):

"Muchos historiadores de la cultura han llevado su preocupación única o principalmente a (...) parciales aspectos de la civilización y, por consiguiente, han visto la Edad Media sólo como una Edad de las Tinieblas, en la cual la civilización habría perecido, realizándose sólo escasos y muy limitados progresos hasta que, mediante un mágico Renacimiento, los hombres hubiesen vuelto a descubrir las artes y las ciencias elaboradas en Grecia y Roma y se verificase el retorno a la civilización".

Y continúa:

"Pero debe ser recordado que el arte, la literatura y la ciencia teórica en el mundo antiguo eran prerrogativas de unos cuantos hombres ricos y ociosos. No podían ser estimados como índice del nivel alcanzado por la civilización en aquellos tiempos. Si dirigimos la mirada hacia más allá de ellos y consideramos la forma en que vivía la humanidad en general, hallaremos un cuadro muy diferente de la Edad Media; se ofrecerá ante nosotros como un período de renovado avance después de una época de relativo estancamiento. El nivel de una civilización ha de medirse no solo tomando en consideración las cimas alcanzadas por la cultura intelectual, sino también el nivel de vida del pueblo en su conjunto"(203).

Ese es un punto de vista, a mi modo de ver acertado, para enfocar el problema de la evaluación del progreso sostenido general de una civilización o de una comunidad particular, como es la matemática. Claro está que es obligado hacer una aplicación del caso general al particular, porque el escenario que se contempla en este trabajo está definido por el universo de lo matemático y ese conjunto forma parte del panorama de la cultura intelectual. Así, siguiendo a Lilley, si las altas cimas de la cultura intelectual no representan información suficiente para definir a una civilización, tampoco las altas cimas de la cultura matemática en un momento dado de la historia pueden representar de manera adecuada el nivel de desarrollo y modernidad de toda la comunidad que trabaja en esta parcela del conocimiento. De hecho, en la ya larga historia de la humanidad hay muchos capítulos que deben estudiarse sin referencias nominales, cual es, por ejemplo, el caso de las matemáticas mesopotámicas, sin que este aspecto sea obstáculo para poder construir un juicio ponderado sobre el nivel de desarrollo del saber en un espacio humano sin figuras. En muchos otros, en los que lo que se sabe es la mera grafía del nombre de un autor, tampoco aporta gran cosa saberlo, y debe sustituirse el análisis comprensivo del evento histórico correspondiente por referencias de carácter general a la época, las escuelas o al estudio interno de las distintas producciones científicas.

Y no se piense que ésta es una realidad asimilable a períodos más o menos antiguos de la historia humana en los que el paso del tiempo ha borrado las huellas de sus más selectos protagonistas. En primer lugar no es verdad, porque en las culturas de la edad del bronce antedichas o en otras más recientes, hay un buen número de nombres de la cultura o del arte que se conocen mejor y que constan de muchos más rasgos de identificación. En segundo lugar, porque hay sistemas en los que las posiciones extremadas quedan casi automáticamente autoexcluidas. Las complejas y ricas culturas del Extremo Oriente son un claro ejemplo de la afirmación anterior. Nadie que tenga un mínimo de sensibilidad intelectual se atrevería a desdeñar las construcciones intelectuales de estas culturas milenarias -incluida su ciencia- aunque sus protagonistas hayan quedado manifiestamente desdibujados en el curso de la historia y esa prevención hacia los extremos sea perceptible en las colas de la distribución normal en tiempos bien recientes e incluso actuales.

Mas no sólo estos casos que podríamos decir que se distinguen por su peculiaridad son explicativos de la ley de los rendimientos medios. Cuando se ha evaluado en todo el mundo occidental el fenómeno -varias veces aludido en este trabajo- de las llamadas matemáticas modernas y de su fracasado saldo, los analistas de las cuestiones de educación, los responsables de políticas educativas, los pedagogos y expertos en didáctica o los meros matemáticos que se han atrevido a enunciarlo, no tenían en la mente a ningún genio. Normalmente los genios no fracasan en lo suyo. La experiencia de la introducción prematura de la abstracción matemática en los sistemas de enseñanza de casi todos los países del mundo a lo más que ha llegado ha sido a personificarse en un Juanito sin cara(204) y sin otros atributos que los de ser un niño normal escolarizado. Naturalmente, en la década de los sesenta y de los setenta, que es cuando surgió semejante sensación, los congresos internacionales de matemáticos seguían reuniéndose y entregando los preciosos galardones Fields a colegas enormemente inteligentes que no sólo no habían tenido ningún problema con las llamadas matemáticas modernas sino que habían alcanzado las más altas cimas del ejercicio profesional y de la capacidad creadora. Y otros, sin llegar ni mucho menos a tanto, tampoco tuvieron problemas en alcanzar sus pertinentes titulaciones y ejercer su profesión -incluida la de matemático- con total competencia. Lo que detectó el fracaso de la aplicación de un tipo matemáticas a etapas tempranas del aprendizaje fue la disminución de la media de los rendimientos obtenidos por conjuntos suficientemente amplios de niños y jóvenes de todo el mundo.

Las mismas matemáticas proporcionan a veces analogías sugerentes para enjuiciar este tipo de problemas. Cuando se complica el aparato, no por capricho del autor sino, a la manera de Riemann, para intentar abordar problemas del mundo real, hay que complicar también el conjunto de datos que garantice la obtención de solución única de un determinado problema. A veces, como ocurre con las ecuaciones diferenciales, sólo se estiman como problemas bien definidos -dicho en otros términos que ponen un tanto nerviosos a algunos amantes de la pureza doctrinal, físicamente bien puestos- los que aseguran la existencia de una solución única que además dependa de forma continua de los datos. ¿Por qué no habrá que aplicar el mismo procedimiento para afrontar la solución de un problema históricamente bien planteado que sería de desear que tuviera conclusión única que dependiera de todos los datos que deben intervenir en su enunciado? Ya sé, por supuesto, que los problemas no pueden afrontarse de una forma extensa y sin matices y que hay que prepararlos -aislarlos- para que puedan ser sometidos al análisis de los expertos, pero esas simplificaciones o arreglos no suelen empañar la generalidad del apetecido resultado.

El concepto de modernidad tiene, como las complicadas situaciones que se abordan en el análisis matemático superior, una gama importante de matices que se tratan según la propia ideología general o la línea de pensamiento matemático le dé a entender al correspondiente autor de turno en cada momento. Las obras culminantes que como hitos se van colocando a lo largo de la historia de las matemáticas sirven para delimitar el camino y para construir un modelo fácil. En el modelo que yo propongo de atender a las medias estos hitos han de jugar el papel de elevar ese renglón intermedio, pero nunca podrán suponer la única referencia comparativa. Plantearé un ejemplo que me sugirió la lectura de la conferencia de Mittag-Leffler(205) en el tantas veces mencionado II Congreso Internacional de Matemáticos sobre una prueba de la honestidad de Hermite -que fue, durante las décadas finales del siglo XIX, uno de los emblemas de la comunidad matemática francesa-. Según este testimonio, Hermite habría recomendado al joven Mittag-Leffler irse a Berlín, en lugar de quedarse en París, para trabajar en el seminario de Weierstras si quería progresar decisivamente en matemáticas. El sabio matemático sueco lo contaba así:

"Weierstrass était alors (1870) en passe d'être consideré, tant en Allemagne qu'à l'étranger même, comme le savant qui avait su pénétrer mieux qu'aucun de ses contemporains les énigmes les plus cachées de l'Analyse. Trois ans plus tard, je vins à Paris suivre le cours d'Hermite; je n'oublierai jamais la stupéfaction que j'eprouvai aux premiers mots qu'il m'adressa: Vous avez fair erreur Monsieur, me dit-il; vous auraiez dû suivre les cours de Weierstrass à Berlin. C'est notre maître à tous". Hermite était Français et patriote; j'appris du même coup à quel degré aussi il était mathématicien"(206).

Aireado suficientemente este consejo en un momento en el que Alemania tenía conocidas aspiraciones hegemónicas en el mundo, y no sólo en matemáticas, se acuñó enseguida la impresión de que las matemáticas modernas y la ciencia moderna en general eran asunto germano, al que las restantes comunidades científicas seguían como podían. Los alemanes producían más que los demás y seguramente mejor. Los núcleos de Göttingen y Berlín, fundamentalmente, inundaban de ciencia positiva impresa los anaqueles de las bibliotecas de todas las universidades del mundo que quisieran aspirar a un cierto prestigio en matemáticas y en casi todo. Weierstrass, Hilbert, Dedekind, Cantor, Klein, Zermelo y una larga lista de primerísimas figuras bastaban y sobraban para demostrar el aserto. Hasta tal extremo que otras figuras igualmente rutilantes o más, y para no equivocarme citaré solamente a Poincaré, quedaron en su tiempo un tanto empequeñecidas ante la plétora emergente de la ciencia alemana. La resistencia a aceptar esa realidad vino más, en ocasiones, de causas ideológicas o políticas que de un análisis desapasionado y riguroso del asunto. Aunque, naturalmente, en los momentos de mayor tensión -o sea en los entornos de los períodos bélicos- el conflicto surgió pletórico de aristas, entre las que se encontraba también la ciencia. Enormemente ilustrativa de esta situación resulta la lectura de un libro del Dr. Achalme que lleva el expresivo título de la ciencia de los civilizados y la ciencia alemana, publicado en 1916(207). En este libro, bendecido por el prólogo del Presidente de la Academia de Ciencias de París, quien no vacila en señalar su agradecimiento a M. le Dr. Achalme, por haber

"mis bien en évidence l'injustice jalouse et voulue des Allemands à l'egard de la Science française"(208),

además del reivindicativo florilegio galo, se contiene una respuesta, de un científico tan eminente como Wilhem Ostwald, autoexplicativa de la carga ideológica con la que se trazaron los esquemas conceptuales a los que estoy aludiendo. Así, en este libro, Ostwald dice(209):

"L'humanité s'élève de l'état de hordes à l'individualisme et de l'individualisme à l'organisation. Les Français et les Anglais (les Russes et les Italiens sont à prendre en moindre considération à ce point de vue) croupisent politiquement et scientifiquement dans l'individualisme, parce qu'il leur est avant tout impossible de comprendre le progrès par la Kulture qui consiste dans l'organisation. C'est pourquoi ils confondent celle-ci avec l'état de hordes et sont incapables de concevoir la base de notre supériorité, qui consiste en ce que nous avons ateint la haute Kulture organisatrice"(210).

Con estos mimbres ideológicos no debería causar extrañeza que el cesto histórico que se ha compuesto haya clasificado la grandeza de los científicos por el color de su pasaporte y haya incluso expulsado al informe estado de horda a la inmensa mayoría de la humanidad pensante.

Dicho esto, y volviendo al tema, no seré yo quien niegue la apreciación de la importancia objetiva de la matemática alemana desde mediados del siglo XIX y hasta la subida al poder de los nazis. Lo que sí negaré es que, por lo menos los franceses, esto es, los Poincaré, Hermite, Darboux, Borel, Lebesgue, etc., y sin duda alguna muchos más franceses o extranjeros, eran también capaces de crear matemáticas de todas las categorías, estaban en condiciones de entender las realizaciones científicas alemanas y enseñaban matemáticas del correspondiente nivel en toda la estructura educativa, a la que iban incorporando -a veces con malos resultados, como se ha ido demostrando a lo largo del siglo- los aspectos nuevos que se consideraban convenientes. Naturalmente en Francia, como en casi todos los países del mundo, esta gama de posibilidades no ha dependido de una forma estrecha de la voluntad de sus propios científicos, sino de cómo evolucionaran los acontecimientos en el orden político-social. Pero, a la pregunta ¿eran modernas las matemáticas francesas de las décadas finales del siglo XIX y comienzos del XX? mi respuesta es clara: sí.

He elegido este ejemplo porque me conviene para mi argumentación, ya que no creo que haya ninguna persona culta que sabiendo, aunque sea por encima, algo de la historia contemporánea de las matemáticas, no esté de acuerdo en que mi respuesta respecto a la modernidad de las matemáticas francesas es correcta. Por lo tanto, la modernidad no será función exclusivamente dependiente del grado de originalidad de una producción matemática ni de la estimación de la envergadura de unos resultados. Poincaré o Klein miraban con recelo(211) el irresistible ascenso de las estructuras abstractas y de la axiomatización, aunque no creo que haya nadie que se atreva a dudar de que ambos las conocían y eran capaces de entenderlas. Simplemente se dedicaban a otros asuntos que les parecían más interesantes entre los que, por cierto, se encontraban la filosofía de las matemáticas en el caso de Poincaré y la historia y la didáctica de las ciencias en el del alemán -y, en éste, casi en exclusiva-. O sea, que Klein, quien al acabar exhausto tras su carrera dialéctica con Poincaré a cuenta de las funciones meromorfas cambió el rumbo de su vida profesional hacia la historia y la didáctica, al tiempo que su relación con las matemáticas de expresión simbólica se reducía al trabajo de las clases, ¿era o no era moderno? No creo que haya tampoco ningún bravo analista que se atreva a colocar sobre la estela del gran Klein apostilla negativa ninguna para ninguno de los periodos de su vida profesional. Si esto es así, admitido como axioma que los matemáticos y los historiadores de las matemáticas no son unos cínicos que puedan pronunciarse sobre hechos y autores por razones ajenas a la estricta ciencia, significará que también puede admitirse que ni siquiera la expresión de ciencia simbólica es necesaria para que un matemático pueda considerarse moderno, y según el axioma con el que acabo de sustentar mi teoría, esto podrá ser aplicado a no importa qué matemático de no importa qué país en no importa qué época. García de Galdeano se atrevió a escribir la cruda verdad de la verdadera importancia del trabajo científico. Así en su personal análisis de 1913 del peculiar curso que impartía en la Universidad de Zaragoza escribió(212) que saber pensar vale infinitamente más que expresarse con tales o cuales símbolos.

Con estos ejemplos pretendo mostrar que la adscripción de modernidad como elemento clave para justificar atención e interés por parte de los historiadores debe pasar por elementos más objetivables que el subjetivismo hasta ahora habitual. Y en este sentido entiendo que un esquema como la referencia al uso de los paradigmas matemáticos universales puede ayudar en esa dirección de forma significativa. Aclararemos un poco esta afirmación.

Los paradigmas matemáticos universales representan el núcleo del saber matemático general en un determinado instante dentro de una determinada época. Suponen, como he intentado explicar ampliamente más arriba, el conjunto de ideas que asumen como referencia la generalidad de los personas implicadas en el mantenimiento, difusión y desarrollo de la disciplina. Se trata, por tanto, de ideas básicas y no de las aportaciones puntuales que en el seno de una rama particular van haciendo avanzar esa parte y el todo.

El enunciado de solamente tres paradigmas implicará, si la teoría camina en una dirección de aceptación razonable, las adecuadas matizaciones intermedias que expliquen el encaje de los paradigmas y los procesos de preparación de lo nuevo y sustitución de lo viejo. Es obvio que los procesos de articulación de los paradigmas necesitarán de un enriquecimiento más detallado. Caso especial supone el paradigma griego, no tanto en lo referente a la antigüedad clásica y el período medieval islámico y cristiano, sino a los dos largos siglos de transformaciones que genera el Renacimiento, aunque por las razones que he expuesto con anterioridad en mi opinión no supusieran convulsión de los referentes generales.

En mi opinión la modernidad hay que encajarla en el esquema del paradigma correspondiente que hay que rastrear y contrastar, donde además habrá que superar las simplificaciones lineales, para lo que planteo un nuevo medio: la banda de modernidad. Este concepto se establece en función del tiempo que las ideas necesitan para difundirse con la suficiente generalidad en el seno de la comunidad científica, generalidad que se refiere por supuesto al número de personas que adoptan y utilizan esas nuevas ideas. Con este concepto, estrechamente dependiente de la época que se considere, pretendo aislar las aportaciones excesivamente restringidas o las de ámbito más general pero que siguen un camino de entrada en el acervo mundial más lento.

Las matemáticas son una disciplina de presentación plural. Hay matemáticas para la generalidad de los ciudadanos que se reproducen en las aulas de enseñanza primaria de todos los países desarrollados, en vías de desarrollo o por desarrollar totalmente. Son las matemáticas de la vida cotidiana y su característica más esencial es la inmutabilidad. Sumar es sumar y su aprendizaje -salvo que se quiera correr riesgos innecesarios-, aunque haya podido incorporar múltiples matices a lo largo del tiempo, tiene un resultado único y nada original. Se sabe sumar en el sistema de numeración socialmente instalado en el medio o no se sabe. ¿Se puede admitir sin más que el estudio de la suma es arcaico? ¿Habrá que despojar al profesional de las matemáticas que se dedica a tan imprescindible menester de toda suerte de honoríficos atributos porque dedica su esfuerzo a tarea tan antigua como la de instruir a niños o niñas en la práctica de las operaciones elementales -pero necesarias- de la aritmética o de la regla de tres? Rodríguez Vidal escribió, parafraseando a Wanda Landowska(213): ¡Cuántas matemáticas hay en una regla de tres! Soy consciente de que se trata de un ejemplo que puede ser calificado de exagerado, pero a veces, para ganar en claridad argumental, hay que procurar elegir ejemplos de tintes nítidos. Las matemáticas, en su faceta instrumental, se presentan en una amplísima gama de contenidos y funciones distintas. Elegir, a la hora de otorgar el privilegio de la modernidad, la sutileza representada por el último feliz descubrimiento supone hacer abstracción de las matemáticas más importantes por más necesarias y más útiles. La banda de modernidad de cada momento histórico no puede estar definida por la instantánea de los hallazgos, sino por la existencia de conjuntos humanos capaces de comprenderse entre sí en el proceso de la comunicación. Esta consideración conservaría dentro de la banda de modernidad a miles de matemáticos de la actualidad que pueden comprender las matemáticas que se van construyendo (en el campo de trabajo en el que se desenvuelven) aunque es altamente probable que nunca hagan aportaciones significativas al avance de la línea del frente investigador. Situación similar es exportable a otros períodos de la historia. En las décadas finales del siglo XVIII había muy pocos matemáticos que pudieran emular a Lagrange, pero había muchos que podían comprender sus escritos -que además se dejaban comprender-. Pues bien, todas esas personas yo las considero inmersas en la banda de modernidad de las décadas finales del siglo XVIII. Y así sucesivamente.

Quizás todo este despliegue teórico mueva bastante al escepticismo si se intentan medir con él comunidades como París, Berlín, Göttingen, Roma o algunas otras universidades en las que se han elaborado matemáticas de alta alcurnia en los último siglos. No son los centros que me han motivado para elaborar el tema. Como he dicho al principio de este último capítulo del trabajo mi principal preocupación ha surgido de mi propio entorno histórico, o sea de España, y una vez hecho me parece que puede servir adecuadamente para enjuiciar con un tipo de rigor diferente y más ecuánime la producción matemática de la inmensa mayoría de países del mundo que hasta ahora no han tenido el privilegio de entrar en la nómina de los hacedores de historias de las matemáticas. Incluso en los países del centro matemático, fundamentalmente Francia y Alemania, no todo son los centros arriba mencionados. Aunque a veces no lo parezca, Francia es algo más que París y Alemania también ha elaborado su cultura matemática en más puntos geográficos que las dos grandes universidades mencionadas más arriba. Un último apunte me viene a la mente: los dos elementos, paradigmas matemáticos universales y banda de modernidad, pueden ayudar a matizar adecuadamente los juicios y, con ello, a hacer justicia a las obras de muchos matemáticos que, a veces en condiciones no precisamente favorables, dedicaron sus vidas al progreso de esta prodigiosa ciencia. Esta también puede ser una digna causa.

Notas:

(1)MEDAWAR, P.B. (1988) Los límites de la ciencia. 1ª ed. en español, México, FCE, p. 9.

(2)GEYMONAT, L. (1977) Storia del Pensiero Filosofico e Scientifico. IX vols., Milano, Ristampa della ediz. de 1975.

(3)PANZA, M. (1992) "Gonseth et les prolégomènes d'une logique de la connaissance". In: M. Panza & J.C. Pont (Eds.) Espace et horizon de réalité. Paris, Masson, pp. 23-45.

(4)Ib., p. 24.

(5)HILBERT, D. (1902) "Sur les problèmes futurs des mathématiques". In: Compte rendu du deuxième Congrès International des mathématiciens tenu à Paris du 6 au 12 août 1900. Paris, Gauthier-Villars, pp. 58-114.

(6)LAUTMAN, A. (1977) Essai sur l'unité des mathématiques et divers écrits. Paris, Union Générale d'Editions. Además del trabajo que da título al libro, contiene otro Essai sur les notions de Structure et d'Existence en Mathématiques y tres prólogos de Costa de Beauredard, Dieudonné y Loi.

(7)Ib., p. 157.

(8)El subrayado es de Lautman.

(9)HILBERT, D. (1993) Fundamentos de las matemáticas. Selección e introducción de Carlos Alvarez y Luis Felipe Segura, traducción de Luis Felipe Segura. "Colección Matema". Mexico, UNAM, Facultad de Ciencias, p. 23.

(10)Sólo a modo de apunte se podrían traer a colación las referencias cuantitativas que Philip J. Davis y Reuben Hersch recogen en el capítulo How much mathematics is now known? para corroborar la imagen de la imposibilidad [DAVIS, P. J. & HERSCH, R. (1980) The mathematical experience. Boston, Birkhäuser, pp. 17-20].

(11)En el momento de ultimar la versión final de este trabajo se reúnían en Madrid el Fondo Monetario Internacional y el Banco Mundial, cuyos expertos no han tenido ningún reparo en decirnos a los españoles que nuestros males acabarán el día que se establezca el despido libre, se liquide el seguro de desempleo y se deje de pagar con fondos del estado a las personas que han trabajado toda la vida. Lo chusco del caso es que nadie les ha expulsado del territorio español por intolerable injerencia en los asuntos internos de un país soberano.

(12)Entre las muchas afirmaciones de este militante anticomunista, antisocialista, anti-igualitarista y encendido defensor del elitismo intelectual prefiero presentar las contenidas en la Parte III del Volumen 2 de sus escritos inéditos y póstumamente publicados: LAKATOS, I. (1978) Mathematics, Science and Epistemology - Philosophical Papers - Volume 2. Cambridge, Cambrigge U.P. [Yo he trabajado con la versión castellana de Ribes, D. (1981) Matemáticas, ciencia y epistemología. Madrid, Alianza Universidad]. Dicha parte, titulada Ciencia y educación [Op. cit., pp. 325-342], recoge tres apartados sumamente significativos de la trastienda ideológica de este autor. Son el texto de una larga Carta al director de la London School of Economics, en el que expone su particular visión de la autonomía y de la democracia académicas; un breve texto sobre la enseñanza de la historia de la ciencia; y un jugoso alegato sobre La responsabilidad social de la ciencia que, para Lakatos, obviamente, no existe. No obstante, yo aquí no pretendo criticar las ideas de Lakatos, sino simplemente señalar la posición nada neutral de su pensamiento.

(13)HORMIGON, M. & KARA-MURZA, S. (1990) "Ciencia e Ideología". LLULL, Revista de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas, 13 (25), 447-514.

(14)Aliados que podían permitir a un programa filosófico disponer de medios de los que suelen carecer los filósofos mondos y lirondos: comprar con dinero (vía cargos) adeptos que tuvieran poder de decisión en el aparato docente, investigador, administrativo, editorial y un largo etcétera que nos llevaría a encontrar insólitos aficionados a la filosofía en el mundo de las altas finanzas y de la alta política de los países de Occidente. Creo que pocas personas se atreverán a negar el aserto siguiente: en Occidente han tenido más fácil la carrera académica los popperianos que los marxistas. Este apasionante tema queda fuera de los propósitos del trabajo actual y por eso no me explayo.

(15)DELACAMPAGNE, C. (1989) "Les fondements philosophiques d'une critique du marxisme". In: Karl Popper et la science d'aujourd'hui. Actes du Colloque organisé par Renée Bouveresse au Centre Culturel de Cerissy-la-Salle du 1er au 11 juillet 1981, pp. 417-427.

(16)Una buena guía para iniciarse en el viaje sobre estas cuestiones la constituye ECHEVERRIA, J. (1989) Introducción a la Metodología de la Ciencia. La Filosofía de la Ciencia en el siglo XX. Barcelona, Barcanova.

(17)Feyerabend fue el más incómodo y, quizás por eso, su muerte a comienzos del verano del 94 pasó inadvertida para la comunidad científica, mientras que la de Popper, sucedida en las postrimerías de la citada estación, fue recogida por los medios de comunicación de todo el mundo al servicio de los de siempre.

(18)KUHN, T.S. (1962) The Structure of Scientific Revolutions. Chicago, University of Chicago Press (2ª ed. 1970). Yo he trabajado con la primera reimpresión de la primera edición en español [KUHN, T. (1975) La estructura de las revoluciones científicas. Mexico-Madrid-Buenos Aires, Fondo de Cultura Económica].

(19)MIKULINSKI, S. (1979) "Estado actual y problemas teóricos de la historia de las ciencias naturales". In: Investigaciones soviéticas en Historia de la Ciencia. Moscú, Academia de Ciencias de la URSS, Instituto de Historia de las Ciencias Naturales y de la Técnica, p. 26.

(20)Las ideas medulares de Hardy se hallan en su archiconocida obra HARDY, G.H. (1967) A mathematician's apology. London, Cambridge U.P. Foreword by C.P. Snow.

(21)Dieudonné ha mantenido una postura militante de este tipo de sensibilidad en la práctica totalidad de sus obras, aunque posiblemente donde ha desplegado sus posiciones de una forma más arrogante haya sido en: DIEUDONNE, J. (1987) Pour l'honneur de l'esprit humain. Les mathématiques aujourd'hui. Paris, Hachette. Un comentario más extenso sobre este libro y su autor lo tengo hecho en: HORMIGON, M. (1990) "Sobre las matemáticas actuales. La subversión involucionista de la ciencia de Jean Dieudonné". LLULL, Revista de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas, 13 (24), pp. 169-181.

(22)TITCHMARSH, E.C. (1966) Esquema de la matemática actual. México, FCE, pp. 192-193. Los subrayados son míos (M.H.).

(23)FLATO, M. (1990) Le pouvoir des Mathématiques. Paris, Hachette, p. 81.

(24)LENIN, V.I. (1970) Materialismo y empiriocriticismo. Buenos Aires, Ediciones Estudio, p. 324.

(25)A pesar de la tinta gastada para contar, glosar y analizar los pormenores que acompañaron la preparación, desarrollo y consecuencias del Proyecto Manhattan, éste es y seguirá siendo durante mucho tiempo un modelo paradigmático de referencia clásica de lo que supone la implicación de la ciencia en la estrategia de objetivos de los estados más desarrollados.

(26)Véase, por ejemplo, LOSEE, J. (1979) Introducción histórica a la filosofía de la ciencia. Madrid, Alianza, 2ª edición española de A. Montesinos de la primera inglesa A historical introduction to the Philosophy of Science [Oxford U.P. 1972], pp. 192 y ss.

(27)La primera vez que pensé esto fue hace casi treinta años; la primera vez que lo escribí, hace casi quince. Ahora, aunque sé que no prueba nada, estoy mucho más convencido del enorme talento, agudeza, perspicacia y capacidad de síntesis de John D. Bernal, el rojo pelirrojo y mujeriego irlandés que generó más premios Nobel que ningún otro científico hasta la fecha.

(28)En español, sin ir más lejos, donde el mercado editorial de obras científicas recorre siempre dificultosos caminos, en los once años que transcurrieron entre 1968 y 1979 se hicieron cinco ediciones de esta emblemática obra en Ediciones Península.

(29)Quizás sea momento de empezar a señalar que esta profunda raíz de la cultura humana alcanza orígenes mucho más antiguos. En este sentido los trabajos de Paulus Gerdes, D'Ambrosio y otros historiadores del Tercer Mundo sobre etnomatemática están ya jugando un papel de enorme interés en la modificación de los prejuicios que todos llevamos encima. En un inmediato futuro la atención a estos estudios deberá ser mucho más fina.

(30)No pueden subestimarse los hechos de la historia. Las ciencias y las técnicas vivieron en buena parte del siglo XX del prestigio adquirido en el XIX gracias a las vacunas, el ferrocarril, el telégrafo, el buque de vapor y otros ingenios que aliviaron el duro sobrevivir de muchas personas. En ese ambiente, que dos científicos como Adams y Leverrier se adelantaran con sus cálculos a la comprobación experimental de la existencia del planeta Neptuno supuso en la opinión pública más o menos ilustrada una aquiescencia de respetuosa posición.

(31)LAKATOS, I. (1976) Proofs and Refutations. London, Cambridge, U.P.; LAKATOS, I. (1978) Mathematics, Science and Epistemology - Philosophical Papers. 2 vols. Cambridge, Cambridge, U.P.

(32)HILBERT. D. (1902) "Sur les problèms futurs des mathématiques". In: Compte rendu du deuxième Congrès International des mathématiciens. Paris, Gauthier-Villars, pp. 113-114.

(33)MUGUERZA, J. (1975) "La teoría de las revoluciones científicas (Una revolución en la teoría contemporánea de la ciencia)". In: I. Lakatos & A. Musgrave (Eds.) La crítica y el desarrollo del conocimiento. Actas del Coloquio Internacional de Filosofía celebrado en Londres en 1965. 2ª ed., Barcelona, Grijalbo, pp. 13-14.

(34)Uno de los últimos eslabones de la cadena lo representa el libro colectivo recientemente editado por HORWICH, P. (Ed.) (1993) World changes; Thomas Kuhn and the nature of Science. Cambridge (Mass.), MIT Press.

(35)La corriente estructuralista se enriqueció, a partir de la obra de SNEED, J.D. (1971) The Logical Structure of Mathematical Physics [Dordrecht, Reindel], con las aportaciones de STEGMÜLLER, W. (1981) La concepción estructuralista de las teorías [Madrid, Alianza]; STEGMÜLLER, W. (1983) Estructura y dinámica de las teorías [Barcelona, Ariel]; MOULINES, C.U. (1981) Exploraciones metacientíficas [Madrid, Alianza] y otros.

(36)En la historia del problema que aquí estoy abordando hay un precedente que todos los profesionales tenemos en mente. Me refiero, naturalmente, al bien conocido debate Crowe-Mehrtens en las páginas de Historia Mathematica a mediados de la década de los setenta: CROWE, M. (1975) "Ten laws concerning patterns of change in the History of Mathematics". Historia Mathematica, 2, 161-166; MEHRTENS, H. (1976) "T.S. Kuhn's theories and Mathematics: a discussion paper on the new historiography of mathematics". Historia Mathematica, 3, 297-320. Estos dos artículos servirían precisamente para abrir el volumen que sobre las revoluciones en matemáticas apareció en 1992 y en el que hay interesantes aportaciones de otros autores, entre las que quiero destacar las dos contribuciones de Joseph Dauben sobre las revoluciones conceptuales y la historia de las matemáticas: DAUBEN, J. (1992) "Conceptual revolutions and the history of mathematics: two studies in the growth of knowledge (1984)". In: D. Gillies (Ed.) Revolutions in mathematics. Oxford, Clarendon Press, pp. 49-71; DAUBEN, J. (1992) "Appendix (1992): revolutions revisited". Ib., pp. 72-82. Naturalmente, no han sido las únicas aproximaciones teóricas al concepto. B. Kedrov publicó en 1979 un interesante artículo sobre el tema de las revoluciones en la ciencia, aunque siguió fiel a la tradición de optar por las ciencias experimentales como banco de pruebas y por incluir las transformaciones radicales científicas en las correspondientes al pensamiento [KEDROV, B. (1979) "Criterios de la revolución científica". In: Investigaciones soviéticas en Historia de la Ciencia. Moscú, Academia de Ciencias de la URSS, Instituto de Historia de las Ciencias Naturales y de la Técnica, pp. 53-71].

(37)Naturalmente, conozco el controvertido barullo conceptual en que los filósofos de la ciencia se enzarzaron, y enzarzaron a todos los interesados en estos temas, a cuenta de los múltiples sentidos y definiciones que el propio Kuhn ofrece en su obra fundacional. Mi pretensión no es entrar en esa batalla y, por ello, prefiero dejar por ahora en una deliberada ambigüedad -por otra parte entendida por todos- el concepto de paradigma.

(38)Justo es señalar que no tuvo porqué ser extraño a las percepciones de los geómetras de la época toda vez que, en definitiva, siempre ha sido más o menos así. ¿No son acaso externalistas las posiciones de Pascal, Newton o al-Jwarizmi, que hacen girar toda su producción científica en torno a la grotesta devoción a un Dios cuya existencia está lejos de soportar el menor análisis crítico y a la observancia de unas normas y rituales de clave estrictamente partidista? Quizá haya que comenzar a señalar que el externalismo sólo genera mala opinión cuando se hace en beneficio de la liberación de la humanidad y que es bien recibido cuando sirve los intereses de los poderosos califas, papas, emperadores y miembros de los consejos de administración de todas las Standard Oil Company que en el mundo han sido.

(39)DELL'AGLIO, L. (1993) "Des glisements dans l´historiographie des mathématiques: le cas du Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche de Gino Loria". In: E. Ausejo & M. Hormigón (Eds.) Messengers of Mathematics: European Mathematical Journals (1800-1946). Zaragoza, Siglo XXI de España Editores, pp. 283-297.

(40)CANTOR, M. (1902) "Sur l'Historiographie des Mathématiques". In: Compte rendu du deuxième Congrès International des mathématiciens. Paris, Gauthier-Villars, pp. 27-42.

(41)Ib., p. 28.

(42)Ib., p. 28.

(43)Ib., p. 28.

(44)Ib., p. 35.

(45)Ib., p. 36.

(46)A somero título de ejemplo he aquí una breve relación de historias de las matemáticas contaminadas por las definiciones geográficas particularistas: Catalogue de la littérature scientifique polonaise. Krakow, 1901; DRACH, J. (1903) Histoire des Sciences Mathématiques en France, au XIXe siècle. Leipzig; GUIMARAES, R. (1909) Les mathématiques en Portugal. 2nd ed., Coimbra; GUTZMER, A. (1904) Geschichte der Deutchen Mathematiker Vereinigung und ihrer Begruendung bis zum Gegenwart. Leipzig; ISELY, L. (1902) Histoire des sciences mathématiques dans la Suisse Française. Neuchatel; KAVAN, J. Katalog knibovny Jednoty ceskych mathematiku. Praha; KLEIN, F. (1911) "The development of mathematics in German Universities". In: Evanston Colloquium. New York; MACFARLANE, A. (1916) Lectures on Ten British mathematicians of the Nineteenth Century. Wiley; MIELI, A. (1923) Gli scienzati Italiani dall'inizio del medio-evo ai nostri giorni. Roma; MIKAMI, Y. (1910) Mathematical Papers from the Far East. Leipzig; NIELSEN, N. (1910) Mathimatikeui Danmark 1801-1908. Copenhagen; PICARD, E. (1917) Les sciences mathématiques en France depuis un demisiècle. Paris. Como es obvio esta relación se podría extender muchísimo. En la Bibliography and Research Manual of the History of Mathematics de K.O. MAY [Toronto and Buffalo, University of Toronto Press, 1975] se consignan más de quinientos trabajos sobre las matemáticas en cincuenta y cinco países o áreas geográficas y en más de ochenta ciudades o universidades. En la -como su propio título indica- bibliografía selectiva de J.W. Dauben también hay un buen número de referencias al desarrollo de las matemáticas en culturas, países e instituciones concretas que podrían servir para poner en entredicho el categórico veto de Cantor [DAUBEN, J.W. (1985) The History of Mathematics from Antiquity to the Present. A Selective Bibliography. New York & London, Garland Pu. Inc.]. Más recientemente todavía, en los dos volúmenes que recogen los trabajos del Symposium on the History of Modern Mathematics [Vassar College, 1988] hay apartados dedicados a estilos nacionales en algebra, matemática aplicada en Francia a comienzos del siglo XIX y matemática aplicada en los USA en la segunda Guerra Mundial [ROWE, D.E. & McCLEARY, J. (Eds.) (1989) The History of Modern Mathematics. San Diego, Academic Press, 2 vols.]. Y ya en este año de 1994, no hay más que referirse a la Encyclopedia editada por Grattan-Guinness y repetidamente citada en lo sucesivo en este trabajo.

(47)Mikulinski señala [Op. Cit., p. 23] que el mismo Price llegó a reconocer que el acontecimiento más importante del II Congreso de Historia de la Ciencia fue la aportación de los delegados soviéticos.

(48)Demidov, S. (1992) "Historiographie des mathématiques en Russie et en URSS avant 1941". Arch. Int. Hist. Sc., 42 (128), 94-113.

(49)Del senado del Instituto formaron parte, además, Borischak, Bujarin, los hermanos Vavilov, Vernadsky, Krylov, Oldenburg, Krzhizhanovsky, Strumilin, entre otros [USTINOV, N.D. (Ed.-in-Chief) (1989) Institute of the History of Natural Sciences and Technology. Devolopment and Organization of Research into the History of Science and Technology. Moscow, Nauka, p. 9].

(50)Yo he trabajado con la excelente versión española: HESSEN, B. (1985) Las raíces socioeconómicas de la Mecánica de Newton. Informe presentado al II Congreso Internacional de Historia de la Ciencia y la Tecnología. La Habana, Editorial Academia. Traducción del ruso, prólogo y notas de P.M. Pruna.

(51)Science at the Crossroad. Papers from the Second International Congress of the History of Science and Technology. 2nd ed., London, 1931.

(52)Una idea de la importancia del texto de Bernal de 1939 puede darla el hecho de que en el XVIII Congreso Internacional de Historia de la Ciencia celebrado en las ciudades de Hamburgo y Munich entre el 1 y el 9 de agosto de 1989 se reuniera un Simposio monográfico dedicado a la conmemoración del cincuentenario de la publicación del libro de Bernal, en el que se presentaron trabajos de Günter Kröber (RDA), Alan L. Mackay (U.K.), Karel Müller (Checoslovaquia), Wolf Shäfer (USA/RFA), Helmut Steiner (RDA), M. Teich (U.K.), I. Malecky (Polonia), J. Marie Legay (Francia), Roy MacLeod (Australia), entre otros. Que un libro científico merezca esta atención cincuenta años después dice mucho en favor suyo.

(53)LEVY-LEBLOND, J.M. & JAUBERT, A. (1975) (Auto) critique de la science. Paris, Seuil, p. 260.

(54)En los años posteriores a la efervescencia teórica del 68 surgieron muchas publicaciones críticas en el universo de la ciencia, como Impascience (Francia, 1975), Labo-contestation (Francia, 1970), Survivre...et vivre (Francia, 1971), Science for the people (USA, 1969), Radical Science Journal (Gran Bretaña, 1973) y otras más. Muchas de ellas no soportaron bien el paso del tiempo a causa de los problemas económicos que conlleva la publicación de una revista y a causa de que el ardor entusiasta desprendido puede apagarse en determinados círculos intelectuales con un poco de dinero y abriendo las páginas de otras revistas de mayor calado y fuste profesional a ciertos temas. No obstante esta línea de contestación nunca se ha extinguido y siempre vuelve a revivir con nuevo empuje.

(55)GRAMSCI, A. (1974) La formación de los intelectuales. Barcelona, Grijalbo, p. 34.

(56)Esta necesidad choca, sin embargo, frontalmente con las realidades administrativas de casi todos los países del mundo desarrollado o por desarrollar. Los problemas de la armonización y reparto de tareas (dinero) y del debate científico en el seno de un equipo o entre equipos (ideas) se ven distorsionados indefectiblemente por la realidad del mercado de trabajo. A corto, medio y largo plazo los problemas cruciales -aunque no sea nada científico ni intelectual- sobre los que pivotan todos los demás son los de los puestos de trabajo, la carrera académica de los individuos y el del reparto del presupuesto.

(57)Las expresiones descarnadas del lenguaje simbólico a ultranza, por una parte, y el desprecio de ciertos sectores de la intelectualidad hacia campos distintos de expresión, por otra, han favorecido esta imagen. A los humanistas que se vanaglorian de su ignorancia de las ciencias positivas habría que darles un somero repaso basado en las aportaciones de la ciencia a la cultura a través de los tiempos. A los cientistas que, ufanos, desprecian los planteamientos filosóficos, históricos o artísticos porque no se atienen a una metodología científica, habría, entre otras cosas, que recomendarles la lectura de La física, aventura del pensamiento de Einstein e Infeld, en el que se señala que las tentativas de leer el grande y misterioso libro de la naturaleza son tan antiguas como el propio pensamiento humano.

(58)KUHN, T. (1975) La estructura de las revoluciones científicas. 2ª ed. en castellano, México, FCE, p. 272.

(59)DIEUDONNE, J. (1986) Abregé d'Histoire des Mathématiques, 1700-1900. Paris, Hermann, p. 5.

(60)KUHN, Op. Cit., pp. 149-165.

(61)LAKATOS, I. (1993) Historia de la ciencia y sus reconstrucciones racionales. Madrid, Tecnos, 3ª ed. en español de PSA 1970 - In Memory of Rudolf Carnap. Dordrech, Reidel, 1971, pp. 15-16.

(62)POPPER, K. (1974) Conocimiento objetivo. Madrid, Tecnos, p. 195.

(63)Yo incluido.

(64)KUHN, Op. Cit., p. 269.

(65)GRATTAN-GUINNESS, I. (1992) "Structure-similarity as a Cornerstone of the Philosophy of Mathematics". In: J. Echeverría, A. Ibarra & T. Mormann (Eds.) The Space of Mathematics. Philosophical, Epistemological and Historical Explorations. Berlin-New York, de Gruyter, p. 107.

(66)Ib. p. 104.

(67)FICHERA, G. (1992) "Rigore e profondità nella concezione di Archimede della matematica quantitativa". In: C. Dolo (Ed.) Arquimede: mito, tradizione, scienza. Firenze, Leo S. Olschki, pp. 1-20.

(68)Coolidge inicia su clásico y exhaustivo libro sobre los métodos geométricos con una interesante reflexión sobre la geometría en el reino animal [COOLIDGE, J.L. (1940) A History of Geometrical Methods. New York, Dover, pp. 1 y ss.].

(69)Esta tesis se va abriendo paso poco a poco. Zaslavsky afirma que Africa pudiera ser el lugar de nacimiento de las ideas matemáticas, lo mismo que lo fue de la Humanidad, y que, por ello, for thousands of years, Africa was in the mainstream of mathematics history [ZASLAVSKY, C. (1994) "Mathematics in Africa: Explicit and implicit". In: I. Grattan-Guinness (Ed.) Companion Encyclopedia of the History and Phylosophy of the Mahematical Sciences. London, Routledge, 2 vols., pp. 85-92]. Una interesante discusión sobre los origenes de la geometría siguiendo el hilo de las culturas de los pueblos en otro momento colonizados se encuentra en: GERDES, P. (1992) Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba, Editora da UFPR, pp 13-20.

(70)No exento tampoco de contradicciones. Muchos estudiosos de formación cristiana consideran verdaderos un enorme conjunto de hechos relacionados con los primeros siglos de la Iglesia y con la vida de Jesucristo sobre los que no existe el menor atisbo de prueba. Sin embargo, para admitir la incidencia de otras corrientes culturales se muestran rotundamente estrictos.

(71)ENGELS, F. (1968) Anti-Dühring o la revolución de la ciencia de Eugenio Dühring (Introducción al estudio del socialismo). Madrid, Ciencia Nueva, Traducción de José Verdes Montenegro.

(72)Ib., p. 47.

(73)POPPER, K. (1981) "Le mythe du cadre de réference". In: Karl Popper et la science d'aujourd'hui. Actes du Colloque organisé par Renée Bouveresse au Centre Culturel de Cerissy-la-Salle du 1er au 11 juillet 1981, pp. 11-61 [p. 19].

(74)La abundancia de referencias explica también la existencia de un incontable número de aproximaciones superficiales y exageraciones ridículas.

(75)RUSSELL, B. (1975) La sabiduría de Occidente. 2ª ed. castellana, Madrid, Aguilar, p. 59.

(76)HERNANDO GONZALEZ, A. (1989) "ALgunas anotaciones sobre las limitaciones del fondo teórico en la ciencia antigua". LLULL, Revista de la Sociedad Española de Historia de las Ciencias y de las Técnicas, 12 (23), 341-363.

(77)Ib., p. 343.

(78)Ib., p. 351.

(79)Quien para Popper ¡cómo no! es le plus grand peut-être de ces premiers penseurs [POPPER, 1981, p. 19].

(80)BERNAL, J.D. (1968) Historia Social de la Ciencia. 2ª ed. en castellano, Barcelona, Península, vol. 1, p. 228.

(81)CLAGETT, M. (1953) "The medieval latin translations from the Arabic of the Elements of Euclid, with special emphasis on the versions of Adelard of Bath". Isis, 44, 16-42.

(82)Busard fue objeto de un merecido homenaje con motivo de su septuagésimo cumpleaños. [FOLKERTS, M. & HOGENDIJK, J.P. (Eds.) (1993) Vestigia Mathematica. Studies in medieval and early modern mathematics in honour of H.L.L. Busard. Amsterdam-Atlanta, Editions Rodopi B.V.].

(83)RICCARDI, P. (1887-1890) Saggio di una bibliografia euclidea. Bolonia, Gamberini e Parmeggiani.

(84)Véase a propósito de este proceso GIUSTI, E. (1993) Euclides Reformatus. La teoria delle proporzioni nella scuola galileana. Torino, Bollati Boringhieri.

(85)GAZTELU, L. (1913) "Principios de moderna pedagogía matemática". Revista de Obras Públicas, 1963 (8 de mayo de 1913), p. 235.

(86)A este aspecto, la reforma útil del libro V, se han dedicado en los últimos tiempos varios trabajos, entre los que cabe destacar el rigurosísimo texto de Enrico Giusti antes citado, quien tras abordar la teoría de las proporciones en el siglo XVI tal como es heredada de las traducciones latinas procedentes del árabe y sus relaciones con el lenguaje de la naturaleza, trata de la teoría galileana de las proporciones y las aportaciones de su escuela y de otros autores que la toman como referencia.

(87)DOU, A. (1974) Fundamentos de la matemática. Barcelona, Labor, pp. 23-24.

(88)El anecdotario de la ciencia árabe o islámica está repleto de situaciones que indican un uso aprovechado de la ciencia. Sánchez Pérez relata, por ejemplo, un caso protagonizado por Avempace. Sabiendo este filósofo y científico zaragozano que se iba a producir un eclipse de luna durante la noche en la que se velaba a un amigo suyo muerto, escribió unos versos en los que invitaba al astro a ocultarse en señal de duelo. Leídos en el momento oportuno y producido el hecho originó el lógico asombro de la concurrencia y el aumento de su fama y prestigio personales [SANCHEZ PEREZ, J.A. (1921) Biografías de los matemáticos árabes que florecieron en España. Madrid, p.123].

(89)PASCAL, B. (1963) "De l'esprit de la géométrie et de l'art de persuader". In: Oeuvres complètes. Tours, Seuil, pp. 348-359; "Extrait d'un fragment de L'introduction à la géométrie", Ib., p. 359.

(90)LAGRANGE, J.-L. (1965) Mécanique Analitique. Paris, Blanchard, 2 vols. Edition complète réunissant les notes de la troisième édition revue, corrigée et annotée par Joseph Bertrand et de la quatrième édition publiée sous la direction de Gaston Darboux.

(91)Ib., pp. I-II.

(92)Ib., p. IV.

(93)MONTUCLA, J.F. (1968) Histoire des Mathématiques. Paris, Blanchard, 4 vols. Nouveau tirage de l'édition des ans VII (1799) - X (1802), achevé et publié par Jérôme de La Lande, augmenté d'un Avant-Propos par M. Ch. Naux.

(94)Ib., p. 10.

(95)RASHED, R. (Ed.) (1989) Sciences à l'époque de la Révolution Française. Recherches historiques. Paris, Blanchard, p. 5.

(96)DHOMBRES, N. & J. (1989) Naissance d'un nouveau pouvoir: sciences et savants en France 1793-1824. Paris, Payot.

(97)Ib., pp. 482-531.

(98)Ib., pp. 492 y ss.

(99)Merece la pena hacer un apunte poco conocido que los Dhombres destacan: señalada la singularidad de la obra de Condillac, es también reseñable en este aspecto la aportación de Lagrange, quien essaya de développer un calcul portant non plus sur les fonctions, mais sur les opérations elles-même auxquelles on les soumettait [Ib., p. 492].

(100)El análisis general mejor construido de este proceso que conozco es de Vladimir P. Vizguin, que lo desarrolló en un ciclo de conferencias en la Universidad de Zaragoza con el título La 'Revolución Francesa' en la Física: nacimiento matemático de la física clásica en el primer tercio del siglo XIX. Estas conferencias están impresas y pendientes de publicación en español en México, aunque el Prof. Vizguin tuvo la gentileza de obsequiarme con el manuscrito de este interesantísimo trabajo que yo, por supuesto, he leído con atención y que, a mi parecer, corrobora -sin nombrarla- mi tesis del paradigma lagrangiano. Trabajos monográficos sobre los autores que participaron en en esta Revolución -Lagrange, Laplace, Berthollet, Biot, Poisson, Cauchy, Arago, Malus, Gay-Lussac, Navier, Dulong, Petit, Poinsot, Coriolis, Poncelet, Fourier, Fresnel, Ampère, S. Carnot, etc.- hay muchos, aunque queden todavía muchas cosas por estudiar de forma más pormenorizada.

(101)DHOMBRES, Op. Cit., p. 511.

(102)Ib., p. 114.

(103)DIEUDONNE, J. (1986) Abregé d'Histoire des Mathématiques, 1700-1900. Paris, Hermann, p. 4.

(104)GRATTAN-GUINNES (1990) Convolutions in French Mathematics. Basel, Birkhäuser, vol. 1, p. 107.

(105)La percepción lagrangiana del agotamiento del paradigma, sobre todo en lo que respecta a la geometría, está explícitamente recogida en una carta de 21 de septiembre de 1781 dirigida a d'Alembert, en la que dice: Me parece (...) que la mina es ya demasiado profunda, y a menos que se descubran nuevos filones, será necesario abandonarla más pronto o más tarde. Las referencias a este párrafo son numerosas en la historiografía de las matemáticas. Puede verse, por ejemplo, DIEUDONNE (1986) Abregé d'Histoire des Mathématiques, 1700-1900. Paris, Hermann, p. 15.

(106)Me refiero, principalmente, a los trabajos publicados por Leibniz en las Acta Eruditorun de Leipzig en 1684 y 1686 con los títulos Nova methodus pro maximis et minimis itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singularis pro illis calculi genus y De geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum, respectivamente. [Existen traducciones inglesas de ambos textos en STRUIK, D.J. (Ed.) (1986) A Source book in Mathematics 1200-1800. Princeton U.P., pp. 272-282]. Estoy de acuerdo con Norberto Cuesta [CUESTA DUTARI, N. (1984) "En el tricentenario de las ecuaciones diferenciales de Leibniz". LLULL, 7(12), 91-92] en que lo nuevo era la resolución de ecuaciones diferenciales, no el problema de las tangentes a las curvas planas.

(107)DOU, A. (1993) "Introducción". In: EULER, L. Método de máximos y mínimos. Selección del Methodus, con introducción, traducción, notas y apéndices a cargo de Albert Dou. Barcelona, Publicacions de la UAB & Edicions de la UPC, p. 14.

(108)DHOMBRES, J. (1989) "La théorie de la capillarité selon Laplace, mathématization superficielle ou étendue?" Rev. Hist. Sci., 42(1/2), 43-77.

(109)Ib., p. 45. Carta del 11 de febrero de 1784.

(110)DHOMBRES, Op. Cit., p. 508.

(111)El traer a colación a Cauchy en este momento no tiene ninguna carga ideológica respecto a los analistas, cuya familiaridad con el fanático legitimista, del que prácticamente no conocen ningún rasgo personal, se debe a la cotidianeidad de los teoremas, criterios, fórmulas y demás especies matemáticas de Cauchy que se ven obligados a frecuentar y que, lógicamente, les mueven a admiración. De todas formas, la lectura de Cauchy nunca puede ser del todo desapasionada; por ello sigue siendo tan sugerente la lectura de VALSON, C.A. (1970) La vie et les travaux du Baron Cauchy. Réimpression augmentée d'une Introduction par René Taton. Paris, Blanchard.

(112)CAUCHY, A.L. (1811) Mémoire lu devant l'Académie de Cherbourg en 1811. Citado por DHOMBRES, Op. Cit., p. 508.

(113)De la vinculación de Cauchy a los territorios aplicados da buena prueba el libro de DAHAN DALMEDICO, A. (1992) Mathématisations. Augustin-Louis Cauchy et l'Êcole Française. Arhenteuil, Êditions du Choix.

(114)Hay cosas en este ámbito verdaderamente sorprendentes. Así, en una obra bastante estimada entre los matemáticos profesionales, puede leerse el siguiente aserto, que se formula sin demostración: Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) was the dominant mathematical figure in a Paris that still regarded itself as the center of the mathematical world (despite the fact that Gauss never left Germany) [EDWARDS JR., C.H. (1979) The historical development of the Calculus. New York, Springer-Verlag, p. 309].

(115)BOSSUT, CH. (1810) Histoire Générale des Mathématiques depuis leur origine jusqu'à l'année 1808. Paris, Chez F. Louis, vol. 2, pp. 164-165.

(116)Fecha errónea, la correcta es 1801.

(117)Ni en las cartas a Farjas Bolyai ni, que yo sepa, en ningún otro escrito, aclaró Gauss, que nunca salió de su territorio, si esta denominación se debía a otros conjuntos humanos que los alemanes que exclusivamente frecuentó.

(118)No generalizable a los matemáticos alemanes de la época. Jacobi, Eisenstein, Kummer o Dirichlet tuvieron sentimientos liberales en la revolución de 1848 y participaron en círculos democráticos y de trabajadores [BOTTACCINI, U. (1981) Il calcolo sublime: storia dell'analisi matematica da Euler a Weiertrass. Torino, Boringhieri, p. 81].

(119)Citado en BOTTAZZINI, Op. Cit., p. 83.

(120)PERRIN, L. (1962) "Henri Lebesgue, renovador del análisis moderno". In: F. Le Lionnais (Ed.) Las grandes corrientes del pensamiento matemático. Buenos Aires, EUDEBA, pp. 306-311.

(121)No quiero afirmar con rotundidad que sea la única forma de hacer aflorar un cuerpo teórico nuevo, pero es obvio que esa actitud representa un camino de novedad. Así, en los desarrollos teóricos rupturistas del paradigma lagrangiano, los habrá que versen sobre temas nuevos tratados con metodologías nuevas y los habrá que traten de problemas clásicos. Para éstos, su matemática seguirá siendo una pieza clave del edificio de la filosofía natural y, por tanto, vivirá una coexistencia conflictiva con otras posturas más individualistas y caprichosas.

(122)En puridad la astronomía fue siempre un testigo incómodo en el dominio de las ciencias exactas durante el largo período de vigencia del paradigma griego a causa de su vinculación con la navegación e incluso con su pariente la astrología. El desprecio de lo útil que siempre se ejemplifica en Euclides -aunque las anécdotas se aplican allí donde conviene- se da de bruces con estos elementos impulsores de los estudios de matemáticas a lo largo de todo el período de vigencia del paradigma y singularmente con el de la Baja Edad Media y el Renacimiento, que es cuando la astronomía recibe la demanda de mayor eficacia para acometer las grandes singladuras marítimas.

(123)Otro ejemplo similar al anterior. La penetración de la idea de la eficacia ofensiva y defensiva en el orden militar también sirvió para agrietar el estricto seguimiento de la sólida herencia de la búsqueda de la verdad y la belleza del paradigma clásico. La Católica Majestad de España, Felipe II, no dudó en 1582 en poner en marcha una Academia de Matemáticas, por la carencia que había en el reino de artilleros.

(124)El Gresham College, fundado en 1579, representa también un síntoma de resquebrajamiento de la tradición clásica, tanto por lo que tiene de síntesis entre los intereses mercantiles y humanísticos como por el singular papel otorgado a los nuevos saberes.

(125)El prestigio cortesano no es materia exclusiva de los monarcas ilustrados, ya que es perfectamente perceptible en las antecámaras de muchos monarcas de tiempos anteriores o posteriores. Antes del XVIII las más de las veces ocurre que los científicos quedan enmascarados por los hábitos de la orden religiosa que tiene el favor real. Después, cuando no aparecen los hábitos, lo hacen los grupos de presión de todo orden.

(126)Una de las cosas que más llaman la atención a los profanos que se acercan a la historia de la ciencia y de la tecnología del siglo XIX es la corporeización de unos nombres de sociedades mercantiles harto comunes de nuestro tiempo como Thompson, Siemens, Diesel, Citröen y un enormemente largo etcétera.

(127)Para un desarrollo más extenso de este tema véase AUSEJO, E. (1993) Por la Ciencia y por la Patria: La institucionalización científica en España en el primer tercio del siglo XX. Zaragoza, Siglo XXI de España Editores.

(128)Una primera aproximación al tema puede hallarse en GRATTAN-GUINNESS, I. (Ed.) (1994) Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mahematical Sciences. London, Routledge, vol. 2, pp. 1427-1554.

(129)Sobre este tema puede ampliarse la información en AUSEJO, E. & HORMIGON, M. (Eds.) (1993) Messengers of Mathematics: European Mathematical Journals 1800-1946. Zaragoza, Siglo XXI de España Editores.

(130)Los Congresos Internacionales de Matemáticos comenzaron a reunirse en Zurich en 1897. El segundo tuvo lugar en París en 1900, luego lo hicieron cada cuatro años -Heidelberg, Roma, Cambridge, ...- salvo los huecos forzados por las Guerras Mundiales o las dificultades organizativas. El último, se ha reunido en Zurich de nuevo en el verano de 1994.

(131)Una de las primeras y más notorias rupturas del paradigma hilbertiano fue planteada por la resurrección remota del espíritu característico de los planteamientos lagrangianos, nunca abandonado del todo por otra parte, con motivo del Congreso de Estrasburgo de 1920 que se comenta en el apartado 5 de este trabajo.

(132)WEYL, H. (1928) Gruppentheorie und Quantum Mechanik. Leipzig, S. Hirzel Verlag, p. VI [Citado en LAUTMAN, A. (1977) Essai sur l'unité des mathématiques et divers écrits. Paris, UGE, pp. 155-156].

(133)Los subrayados son de Weyl.

(134)Como todos los grandes hallazgos de la historia humana la admisión de la imposibilidad de encontrar una solución a un problema generó la correspondiente literatura filosófica a cuenta de la ignorancia o no ignorancia características de la especie humana, embutida en sentencias en latín. Para mayor abundamiento en la tesis, el protagonismo de Hilbert en esta cuestión quedó evidenciado hasta en su tumba. En su famosa comunicación al Congreso de París de 1900 lo expresó con toda rotundidad: "Jamais, en effet, mathématicien ne sera réduit à dire: Ignorabimus" [HILBERT, D. (1902) "Sur les problèms futurs des mathématiques". In: Compte rendu du deuxième Congrès International des mathématiciens. Paris, Gauthier-Villars, p. 69].

(135)CAVAILLES, J. (1965) Philosophie mathématique. Paris, Hermann, p. 27.

(136)Citado en WUSSING, H. & ARNOLD, W. (1989) Biografías de grandes matemáticos. 1ª ed. en español, Zaragoza, PUZ, p. 622.

(137)Las referencias a la provocadora sentencia de Russell son muchas. Uno de los más interesantes comentarios se encuentra en un artículo de de Marshall Stone publicado en 1961 en el Bulletin of the Association of American Colleges y que fue recogido ese mismo año en las páginas del American Mathematical Montly. Yo me he basado en la traducción castellana [STONE, M. (1978) "La revolución en matemáticas". In: J. Piaget, G. Choquet, et al. La enseñanza de las matemáticas modernas. Madrid, Alianza Universidad, pp. 73-97].

(138)HILBERT. D. (1902) "Sur les problèms futurs des mathématiques". In: Compte rendu du deuxième Congrès International des mathématiciens. Paris, Gauthier-Villars, pp. 58-114.

(139)Ib., p. 113.

(140)Ib., pp. 58-59.

(141)Ib., p. 58.

(142)DIEUDONNE, J. (1977) Avant-propos. In: LAUTMAN, Op. Cit., pp. 15-20 [p. 17].

(143)Moritz Cantor (1829-1920) estudió en Heidelberg y Göttingen, donde fue alumno de Gauss y Weber, y en Berlín, donde recibió enseñanzas de Dirichlet. Enseñó en Heidelberg. En el momento de la celebración del Congreso de París era el matemático más reconocido como historiador de las matemáticas.

(144)GERDES, P. (1992) Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba, Editora da UFPR, p. 9.

(145)BERNAL, J.D. (1968) Historia social de la Ciencia. Barcelona, Península, vol. 2, p. 413.

(146)WUSSING, H. & ARNOLD, W. (1989) Biografías de grandes matemáticos. 1ª ed. en español, Zaragoza, PUZ, p. 628.

(147)KRAZER, A. (Ed.) (1905) Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904. Leipzig, Teubner.

(148)Utilizo la traducción castellana de la resolución que apareció en Revista Trimestral de Matemáticas, 4(1904), 175-176.

(149)En realidad, Einstein, entonces un bastante desconocido empleado de la Oficina Suiza de Patentes de Berna, publicó en este año crucial otros dos notables artículos sobre el movimiento browniano y la nueva teoría cuántica del efecto fotoeléctrico, respectivamente. En concreto, este último trabajo le valió el Premio Nobel de Física de 1921. Para una introducción rápida y sencilla en este amplísimo tema puede verse EINSTEIN, A., GRÜNBAUM, A., EDDINGTON, A.S. et al. (1973) La teoría de la relatividad. Selección de L. Pearce Williams. Madrid, Alianza Universidad.

(150)Algunas referencias servirán para dar mayor entidad a esta afirmación. Entre otras cosas se publicaron en el año 1905 los siguientes trabajos: BERSTEIN, F. (1905) "Untersuchungen aus der Mengenlehre". Math. Ann., 61, 117-165; BERSTEIN, F. (1905) "Über die Reihe der transfiniten Ordnungzahlen". Math. Ann., 60, 187-193; BERSTEIN, F. (1905) "Über der Beweis der Wohlordnung". Math. Ann., 60, 463; BOREL, E. (1905) "A propos d'un théorème de M. Zermelo". Math. Ann., 60; KÖNIG, J. (1905) "Über die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem". Math. Ann., 61, 156-160; KÖNIG, J. (1905) "Zum Kontinuumproblem". Math. Ann., 60, 177-180; etc.

(151)CAVAILLES, J. (1962) Philosophie mathématique. Paris, Hermann, p. 26.

(152)De amplia incidencia en muchos países de la periferia matemática como, por ejemplo, España. Bails en su monumental obra Elementos de Matemáticas en diez volúmenes, escribe en el prólogo del tomo IV: Ya es tiempo de que manifestemos la aplicación de estos artificios, por que en ella estriba el beneficio que resulta al género humano del estudio de las matemáticas. [BAILS, B. (1772-1783) Elementos de Matemáticas. Madrid, Imprenta de la Viuda de Joaquín Ibarra, vol. 4, p. I].

(153)Para evitar cuaquier tipo de malentendido señalaré que lo que pretendo sostener es el innegable hecho de que las matemáticas -salvo en episodios aislados como el Congreso de Estrasburgo que más adelante relataré- crearon un territorio en el que podían colaborar nazis y antifascistas o marxistas-leninistas comprometidos y agentes de la CIA. Y eso resulta, objetivamente, bastante insólito.

(154)DELAMBRE, J-B. (1989) Rapport historique sur les progrès des sciences mathématiques depuis 1789 et sur leur état actuel. Rapports à l'Empereur sur les progrès des sciences, des lettres et des arts depuis 1789. I. Sciences mathématiques. Présentation et notes de Jean Dhombres. Paris, Belin, p. 31.

(155)DIEUDONNE, J. (1986) Abregé d'Histoire des Mathématiques. 1700-1900. Paris. Hermann, p. 7.

(156)VILLAT, H. (Ed.) (1921) Compte rendu du Congrès International des mathématiciens. Strasbourg, 22-30 septembre 1920. Toulouse.

(157)El VI Congreso Internacional de Matemáticos hubiera debido reunirse en Estocolmo en 1916, pero fue cancelado a causa de la guerra.

(158)Congresistas participantes en el Congreso de Strasburgo de 1920: Australia 1; Bélgica 10; Brasil 1; Canadá 1; Checoslovaquia 12; Dinamarca 3; Egipto 1; España 10; Estados Unidos 11; Filipinas 1; Francia 80; Grecia 6; Holanda 5; India 2; Inglaterra 9; Italia 5; Japón 2; México 2; Noruega 4; Polonia 2; Portugal 3; República Argentina 6; Rumania 6; Rusia 1; Servia 1; Suecia 1; Suiza 14.

(159)Evolución de la participación por países en los Congresos de París (1900), Heidelberg (1904), Roma (1908) y Cambridge (1912).

París

Heidelberg

Roma

Cambridge

Alemania

(con Baviera y Prusia)

26

173

174

53

Argentina

1

1

-

5

Austria-Hungría

10

25

74

36

Bélgica

11

2

4

5

Brasil

1

-

-

1

Bulgaria

-

1

1

1

Canadá

1

1

1

5

Chile

-

-

-

5

Dinamarca

5

13

5

4

Egipto

-

-

1

2

España

3

1

5

25

Estados Unidos

19

15

27

60

Francia

93

24

92

39

Grecia

1

1

3

4

Holanda

2

6

4

9

India

-

-

-

3

Italia

22

12

190

35

Japón

1

2

-

3

Luxemburgo

1

-

-

-

México

1

-

1

2

Noruega

2

*

4

3

Perú

2

-

-

-

Portugal

3

-

-

2

Reino Unido

12

7

33

221

Rumania

4

2

6

4

Rusia

14

30

25

30

Servia

2

-

1

1

Suecia

6

8

6

12

Suiza

7

12

18

8

Túnez

-

-

2

-

Turquía

1

-

-

-

TOTALES

251

337

667

564

* incluidos en Suecia

(160)MITTAG-LEFFLER, M.G. (1902) "Une page dans la vie de Weierstrass. Extrait d'une communication plus étendue". In: Compte rendu du Deuxième Congrès International des mathématiciens. Paris, Gauthier-Villars, pp. 131-153.

(161)Hilbert pronunció estas palabras en 1917 en una conferencia titulada El pensamiento axiomático (Axiomatiches Denken) en Zurich ante la Sociedad Matemática Suiza y que apareció un año después en los Matematische Annalen, 78, 405-415. Véase HILBERT, D. (1993) Fundamentos de las matemáticas. Selección e introducción de Carlos Alvarez y Luis Felipe Segura, traducción de Luis Felipe Segura. "Colección Mathema". Mexico, UNAM, Facultad de Ciencias, p. 23.

(162)En el caso español por la de Ciencias de Madrid.

(163)PICARD, E. (1921) "Allocutions". In: Compte rendu du Congrès International des mathématiciens. Strasbourg, 22-30 septembre 1920. Toulouse, pp. XXVI-XXIX y XXXI-XXXIII.

(164)Ib., p. XXVII-XXVIII.

(165)Esto es un hecho universal y no exclusivamente francés. Al fin y al cabo, todo autor tiende a ejemplificar sus argumentos con los elementos que mejor conoce y, en ese sentido, la elección de casos provenientes del propio entorno es una rutina procedimental.

(166)Naturalmente, no en estos términos.

(167)PICARD, Op. Cit., p. XXXI.

(168)"Varia. VIII Congreso Internacional de matemáticos". Revista Matemática Hispano-Americana, 3(2ª serie)1928, 222-225.

(169)Ib., p. 222.

(170)Esta fue la mesa: S.A.R. el Duque de Bergamo, el Ministro de Instrucción Pública, S.E. el Cardenal, el Prefecto, el Podestá, el General Tallarigo y el Rector de la Universidad.

(171)Ib., p. 222.

(172)Ib., p. 223.

(173)Ib., p. 223.

(174)D'AMBROSIO, U. (1987) Etnomatemática: raízes socioculturais da arte ou técnica de explicar e conhecer. Campinas, UNICAMP; CARRAHER, T. et al. (1982) "Na vida, dez; na escola, zero; os contextos culturais de aprendizagem da matemática". Cadernos de Pesquisa (Sao Paulo), 42, 79-86; ESHIWANI, G. (1979) "The goals of mathematics teaching in Africa: a need for re-examination". Prospects (Paris), IX (3), 346-352; EL TOM, M. (1979) Developing mathematics in Third Wold countries. Amsterdam; POSNER, J. (1982) "The development of mathematical knowledge in two West African societies". Child Development (Chicago), 53, 200-208; GAY & COLE (1967) The new mathematics and an old culture: a study of learning among the kpelle of Liberia. New York; y otros.

(175)GERDES, P. (1992) Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba, Editora da UFPR, p. 9.

(176)Una antología siempre aprovechable sobre parte de la literatura emanada en torno a este asunto es GARCIA CAMARERO, E. & GARCIA CAMARERO, E. (Introducción, selección y notas) (1970) La polémica de la ciencia española. Madrid, Alianza Editorial.

(177)Véase sobre este tema AUSEJO, E. & HORMIGON, M. (1994) "Historiography of Mathematics in Spain: a weapon loaded with future", forthcomming.

(178)ECHEGARAY, J. (1866) Historia de las Matemáticas puras en nuestra España. Discurso de Recepción en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid. Reproducido en GARCIA CAMARERO, E. & GARCIA CAMARERO, E. (1970) La Polémica de la Ciencia Española. Madrid, Alianza Editorial, pp. 161-190.

(179)VICUÑA, G. (1875) Cultivo actual de las ciencias físico-matemáticas en España. Discurso leído en la Universidad Central en el acto de la apertura del curso académico de 1875 á 1876. Madrid.

(180)RAMON Y CAJAL, S. (1876) "Deberes del Estado en relación con la producción científica". La Revista Contemporánea, I, 30-V-1876. Reproducido en GARCIA CAMARERO, Op. Cit., pp. 373-399.

(181)MENENDEZ Y PELAYO, M. (1953-4) La Ciencia Española. Edición preparada por Enrique Sánchez Reyes, del Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Santander, 3 vols. [Nihil obstat: Augustinus M. Pelayo, Canónicus Magistralis. Censor. Imprimatur: Josephus, Episcopus Santanderiensis].

La Ciencia Española fue una obra construída a lo largo de más de una década. El primer libro de tal título lo publicó Menéndez y Pelayo en 1876. Lanzó la segunda edición en 1880 y apareció, ya en tres volúmenes, en los años 1887-88.

(182)FERNANDEZ-VALLIN Y BUSTILLO, A. (1894) Cultura Científica en España en el siglo XVI. Discurso de recepción en la Academia de Ciencias de Madrid.

(183)REY PASTOR, J. (1913) Los matemáticos españoles en el siglo XVI. Discurso Inaugural del Curso Académico 1912-13 de la Universidad de Oviedo; REY PASTOR, J. (1915) "El progreso de España en las Ciencias y el progreso de las Ciencias en España. Discurso inaugural de la Sección Primera, Ciencias Matemáticas". In: Asociación Española para el Progreso de las Ciencias. Quinto Congreso celebrado en Valladolid del 17 al 22 de octubre de 1915. Madrid, Imprenta de Eduardo Arias, tomo I(2ª), pp. 11-25. Este segundo discurso está también reproducido con el título España y el progreso de las Matemáticas en REY PASTOR, J. (1994) Escritos de las dos orillas. Logroño, IER, Edición a cargo de Luis Español González, pp. 25-41.

(184)AUSEJO, E. & HORMIGON, M. (1985) "Dos discursos sobre historia". In: Luis Español (Ed.) Actas del I Simposio sobre Julio Rey Pastor. Logroño, Instituto de Estudios Riojanos, pp. 163-174. Detalles sobre el discurso de Oviedo se pueden consultar en ARAGON DE LA CRUZ, F. (1990) "El entorno académico-cultural del discurso Los matemáticos españoles del siglo XVI -Oviedo, curso 1913-1914". In: Luis Español, Op. Cit., pp. 173-180.

(185)La más notable del historiador de la matemática española Francisco Vera en el curso de una conferencia editada por la Asociación de Historiadores de la Ciencia Española en la que, tras repasar la versión reypastoriana del ruinoso pasado matemático español, hacía constar que en el discurso de Rey Pastor faltaba una conclusión, a saber: La matemática española fue un desastre, ¡hasta que llegué yo! [VERA, F. (1935) Los historiadores de la matemática española. Madrid].

(186)No creo que pueda sostenerse, más que gratuitamente, que el espacio es inmutable en el transcurso del tiempo. Esa simplificación grosera sólo es admisible en ciencias poco elaboradas.

(187)En el tema que estoy desarrollando las patologías afectan a los asuntos que se desarrollan entre intelectuales que vivimos suficientemente bien como para poder dedicarnos a estos asuntos y, por lo tanto, no son muy graves. A nadie nos quita el sueño el que en una determinada pieza histórica no se le haya hecho justicia a tal obra de tal autor. Donde esta faceta tiene tonos de mayor trascendencia y donde sí puede alcanzar tintes dramáticos es en la práctica docente, y en este campo sí que es, por desgracia, habitual, exigir a los niños y niñas, muchachos y muchachas, en el tiempo récord de unas pocas semanas, adquirir, asumir y dominar conceptos a los que hombres y mujeres inteligentísimos dedicaron décadas o siglos.

(188)En este proceso la Mécanique céleste de Laplace sería el mejor ejemplo. Laplace ratificó a Newton, con lo que no había nada nuevo que discutir. Los demás demonios que no eran de Newton sí que se discutieron ardorosamente.

(189)Me refiero, sobre todo, a los trabajos: CAUCHY, A. (1821) Cours d'analyse à l'Ecole Royale Polytechnique. Paris; CAUCHY, A. (1923) Resumé de leçons données a l'Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitésimal. Paris; CAUCHY, A. (1929) Leçons sur le calcul différentiel. Paris.

(190)Puede seguirse muy bien en la obra varias veces citada de CAVAILLES, J. (1965) Philosophie mathématique. Paris, Hermann, tanto en el Capítulo II de las Remarques sur la formation de la théorie abstraite des ensembles, que lleva por título La création cantorienne, como en la correspondencia Cantor-Dedekind que se contiene en el mismo volumen.

(191)HODGKIN, L. (1981) "Mathematics and revolution from Lacroix to Cauchy". In: H. Mehrtens, H. Bos, I. Schneider (Eds.) Social History of Nineteenth Century Mathematics. Boston-Basel-Stuttgart, Birkhäuser, pp. 50-71.

(192)GRATTAN-GUINESS, I. (1969-70) "Bolzano, Cauchy and the New Analysis of the early nineteeenth century". Arch. Hist. Exact. Sci., 6, 372-400.

(193)LAGRANGE, J.-L. (1965) Mécanique Analytique. Paris, Blanchard, 2 vols. Edition complète réunissant les notes de la troisième édition revue, corrigée et annotée par Joseph Bertrand et de la quatrième édition publiée sous la direction de Gaston Darboux, p. IX.

(194)El subrayado es de Bertrand.

(195)Quiero dejar claro que no me refiero a razones represivas de tipo externo como censura eclesiástica o dictaduras de derecha con cualquier tipo de matiz.

(196)Durante décadas se ha considerado que los científicos de los países socialistas estaban atrasados porque no citaban -decían- a los occidentales, a los que no leían -decían- por problemas de censura. Sin embargo, casi ningún científico occidental leía y citaba a los colegas del Este europeo -y se supone que no tenía problemas de represión aparente- sin que supusiera demérito para su brillante palmarés curricular. Diferentes varas de medir.

(197)Esto es generalizable a otras civilizaciones también complejas -China, India, Inca, Maya, etc.- de las que por deformación personal, como ya he apuntado, conozco muy poco y, por respeto hacia esas culturas y por deseo de no decir simplezas, opto por la prudencia de no decir nada.

(198)A su obra matemática me remito. Siguiendo su método compáresela con la de Poincaré, Hilbert, Klein, Weyl, Noether, Van der Waerden, Lusin, etc. y verán sus hagiógrafos cómo queda.

(199)La literatura está repleta de ejemplos, algunos por la vía del escarnioso ridículo, en que los que científicos de salón, sacados fuera de su medio académico y del conocimiento de los libros de su especialidad, son incapaces de afrontar los problemas elementales, incluso de supervivencia, derivados de la vida cotidiana en situaciones diferentes a aquellas para las que están amaestrados. Los grandes científicos no han tenido graves reparos en hacerse eco de tales situaciones. Al clásico ejemplo de Los viajes de Gulliver de Swift se podrían añadir muchos otros.

(200)Sin duda, en el momento de escribir estas ideas -verano del 94- las situaciones se encuentran todavía sometidas al ardor de diferencias de opinión y a la cerrada defensa de demasiados intereses demasiado inconfesables, mas ello no obsta para que los que estamos libres de esas contingencias recordemos qué tipo de sociedad ha sido capaz de mantener medias de instrucción altas de ámbito general y al mismo tiempo preparar con garantías a los superdotados en el ajedrez, la natación, el atletismo, la pintura o la música; eso por no referirnos a la topología, la teoría de números o la física nuclear. Mas muy posiblemente el reconocimiento de estos hechos evidentes necesite algunos años para acabar de destruir los mejores sentimientos de solidaridad y fraternidad y los más elevados ideales de libertad e igualdad de la especie humana. Quizás, cuando ya sea solamente cosa de los libros, se reconozca.

(201)LILLEY, S. (1965) Man, Machines and History. 2ª ed., London, Lawrence & Wishart. La referencia corresponde a la la 2ª ed. en español [Hombres, máquinas e historia, Madrid, Artiach, 1973].

(202)Ib., pp. 49-50.

(203)Las cursivas son de Lilley. Las versales son mías (M.H.).

(204)Estoy aludiendo, claro está, al subtítulo del libro de KLINE, M. (1973) Why Johnny Can't Add: The Failure of the New Math. New York, St. Martin's Press. Yo he trabajado con la edición española [El fracaso de la matemática moderna. Madrid, Siglo XXI de España Editores].

(205)MITTAG-LEFFLER, M.G. (1902) "Une page dans la vie de Weierstrass. Extrait d'une communication plus étendue". In: Compte rendu du Deuxième Congrès International des mathématiciens. Paris, Gauthier-Villars, pp. 131-153.

(206)Ib., p. 131.

(207)ACHALME, Dr. (1916) La Science des civilisés et la Science allemande. Paris, Librairie Payot. Avec un Préface de M. Edmond Perrier, President de l'Académie des Sciences et une réponse du Proffesseur Otswald.

(208)Ib., p. 11.

(209)OSTWALD, W. (1916) "L'organisation allemande et la science". Ib., pp. 189-203.

(210)Ib., pp. 200-201.

(211)Véase ROWE, D.E. (1994) "The philosophical views of Klein and Hilbert". In: Ch. SASAKI; S. MITSUO & J.W. DAUBEN (1994) The intersection of History and Mathematics. Basel-Boston-Berlin, Birkhäuser Verlag, pp. 187-202.

(212)GARCIA DE GALDEANO, Z. (1913) Sumario de mis cursos de cálculo infinitesimal. Zaragoza, Tipografía de G. Casañal, p. 29.

(213)Wanda Landowska dijo en una ocasión: ¡Cuánta música cabe en un minué!

 

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